Lemat Nakayamy
Lemat Nakayamy – lemat w algebrze przemiennej. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska japońskiego matematyka Tadashiego Nakayamy[1].
Sformułowanie
Każdy z podanych niżej lematów funkcjonuje w literaturze jako lemat Nakayamy.
Niech będzie pierścieniem przemiennym z 1 i niech będzie jego ideałem.
Lemat 1.[2] Jeśli jest skończonym -modułem spełniającym równość to istnieje element pierścienia taki że oraz Jeśli dodatkowo wiadomo, że ideał jest zawarty w radykale Jacobsona to
Lemat 2.[2] Załóżmy, że jest zawarty w radykale Jacobsona Niech będzie -modułem i niech będzie jego podmodułem, takim że jest skończony nad (tzn. jest skończenie generowanym -modułem). Wówczas jeśli to
Dowód: Oznaczmy Mamy Zatem z lematu 1, co oznacza, że
Lemat 3.[3] Zakładamy, że ideał jest zawarty w radykale Jacobsona oraz że jest skończenie generowanym modułem. Jeśli obrazy elementów w generują jako -moduł, to elementy te generują jako -moduł.
Dowód: Mamy Stąd i z lematu 2 dostajemy tezę.
Przypisy
- ↑ Tadashi Nakayama biography [online], www-history.mcs.st-and.ac.uk [dostęp 2018-12-14] .
- ↑ a b Matsumura, Hideyuki, 1930-, Commutative ring theory, wyd. 1st pbk. ed., with corrections, Cambridge [England]: Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36764-6, OCLC 23133540 [dostęp 2018-12-14] .
- ↑ David.D. Eisenbud David.D., Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8, OCLC 30436150 [dostęp 2018-12-14] .