Lemat Łuzina
Lemat Łuzina – twierdzenie mówiące, że każda probabilistyczna miara borelowska na przestrzeni polskiej jest wewnętrznie regularna (tj. jest miarą Radona). Twierdzenie udowodnione zostało przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina.
Dowód
Niech (Ω, d) będzie przestrzenią polską, a μ oznacza miarę probabilistyczną na Ω. Niech ciąg (an) będzie gęsty w Ω, a ponadto ε > 0. Dla dowolnie wybranych liczb naturalnych n, k niech dane będą zbiory
Wówczas
Dla każdego k istnieje zatem taka liczba naturalna n(k), że
Niech
Zbiór K jest domknięty i całkowicie ograniczony, a więc z zupełności Ω jest to zbiór zwarty. Ponadto
Dowodzi to wewnętrznej regularności miary μ.
Bibliografia
- G. Blower, Random Matrices: High Dimensional Phenomena, ser. London Mathematical Society Lecture Notes. Cambridge, U.K., Cambridge Univ. Press, 2009, ss. 17-18.
- Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.