Konstrukcja prostej krzywej pogoni Krzywa pogoni – krzywa matematyczna, określająca tor punktu („ścigający”), który zmierza zawsze w kierunku drugiego punktu („ścigany”), poruszającego się po pewnej wyznaczonej krzywej.
Prosta krzywa pogoni Prosta krzywa pogoni określa najprostszy przypadek, w którym ścigany porusza się po prostej. Pierre Bouguer opisał ją po raz pierwszy w 1732 roku. Pierre Louis Maupertuis później rozważał także inne krzywe pogoni.
Definicja Niech A 0 {\displaystyle A_{0}} będzie punktem startowym „ściganego”, a P 0 {\displaystyle P_{0}} punktem startowym „ścigającego”.
Niech punkt A {\displaystyle A} porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v = c o n s t {\displaystyle v=const} w jakimś kierunku, a punkt P {\displaystyle P} z prędkością w = c o n s t {\displaystyle w=const} zawsze w kierunku punktu A . {\displaystyle A.} Wówczas tor punktu P {\displaystyle P} to prosta krzywa pogoni.
Niech k = v w . {\displaystyle k={\tfrac {v}{w}}.}
Krzywe pogoni dla różnych wartości parametru k Niech A 0 = ( 0 , 0 ) , P 0 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0)} i A {\displaystyle A} porusza się wzdłuż osi Y : {\displaystyle Y{:}}
y ( x ) = 1 2 ( 1 − x ( 1 − k ) ( 1 − k ) − 1 − x ( 1 + k ) ( 1 + k ) ) {\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1-x^{(1-k)}}{(1-k)}}-{\frac {1-x^{(1+k)}}{(1+k)}}\right)} dla k ≠ 1 {\displaystyle k\neq 1} y ( x ) = 1 4 ⋅ ( x 2 − ln x 2 − 1 ) {\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\cdot \left({x^{2}}-\ln {x^{2}}-1\right)} dla k = 1 {\displaystyle k=1}
Wyprowadzenie W dowolnym momencie „ścigany” znajduje się na stycznej do toru „ścigającego”, więc:
d x d y = − x a − y , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {-x}{a-y}},} co prowadzi do równania różniczkowego :
x + x ′ ( a − y ) = 0 , {\displaystyle x+x'(a-y)=0,} gdzie x > 0. {\displaystyle x>0.}
Z a = v t {\displaystyle a=vt} wynika:
x x ′ + v t = y , {\displaystyle {\frac {x}{x'}}+vt=y,} po zróżniczkowaniu po y : {\displaystyle y{:}}
y ˙ = d y d t = v ⋅ x ′ 2 x ⋅ x ″ {\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {v\cdot x'^{2}}{x\cdot x''}}} Dalej stosowany jest wzór na długość łuku :
l = w t = k ∫ 0 y 1 + ( x ′ ) 2 d y . {\displaystyle l=wt=k\int _{0}^{y}{\sqrt {1+(x')^{2}}}\mathrm {d} y.} Z d x 2 + d y 2 = w 2 d t 2 {\displaystyle \mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}=w^{2}\mathrm {d} t^{2}} wynika, że:
y ˙ = w 1 + x ′ 2 {\displaystyle {\dot {y}}={\frac {w}{\sqrt {1+x'^{2}}}}} Podobnie wykonywane jest różniczkowanie po x : {\displaystyle x{:}}
x ″ − k ⋅ x ′ 2 x ⋅ 1 + x ′ 2 = 0. {\displaystyle x''-k\cdot {\frac {x'^{2}}{x}}\cdot {\sqrt {1+x'^{2}}}=0.} Rozwiązanie po podstawieniu
u = y ′ = 1 x ′ , x ″ = − 1 u 3 d u d x {\displaystyle u=y'={\frac {1}{x'}},\quad x''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}} prowadzi do:
− d u 1 + u 2 = k ⋅ d x x , {\displaystyle {\frac {-\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{x}},} po scałkowaniu:
arsinh u = k ⋅ ln x + C , {\displaystyle \operatorname {arsinh} u=k\cdot \ln x+C,} a następnie po zastosowaniu formalnej definicji sinh z C 1 = e C {\displaystyle C_{1}=e^{C}} otrzymuje się:
y ′ = d y d x = 1 2 [ ( C 1 ⋅ x ) k − ( C 1 ⋅ x ) − k ] . {\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot x)^{k}-(C_{1}\cdot x)^{-k}\right].} Ponownie całkuje się, ze stałą C 2 . {\displaystyle C_{2}.} Z warunku brzegowego:
d y d x | x = 1 = 0 {\displaystyle \left.{\tfrac {dy}{dx}}\right|_{x=1}=0} wynika C 1 = 1 , {\displaystyle C_{1}=1,} więc z
y | x = 1 = 0 {\displaystyle \left.y\right|_{x=1}=0} wynika:
C 2 = k 1 − k 2 {\displaystyle C_{2}={\frac {k}{1-k^{2}}}} względnie C 2 = − 1 4 {\displaystyle C_{2}=-{\frac {1}{4}}} dla k = 1 , {\displaystyle k=1,} czyli:
y ( x ) = 1 2 ( x ( 1 + k ) ( 1 + k ) − { x ( 1 − k ) ( 1 − k ) ln | x | } ) + { k 1 − k 2 − 1 4 } { k ≠ 1 k = 1 {\displaystyle y(x)={\frac {1}{2}}\left({\tfrac {x^{(1+k)}}{(1+k)}}-\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{(1-k)}}{(1-k)}}\\\ln {|x|}\end{matrix}}\right\}\right)+\left\{{\begin{matrix}{\frac {k}{1-k^{2}}}\\-{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\right\}\ {\begin{cases}k\neq 1\\k=1\end{cases}}} skąd wynikają wzory podane na początku.
Wyrażenie zależności odwrotnej x ( y ) {\displaystyle x(y)} nie jest możliwe w funkcjach elementarnych.
Zobacz też Zobacz galerię związaną z tematem: Krzywa pogoni
Linki zewnętrzne Applet Javy symulujący pogoń (niem. ) Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Pursuit Curve , [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) . Encyklopedie internetowe (krzywa ):
Treccani: curva-di-inseguimento