Korelacja cząstkowa

Korelacja cząstkowa – miara zależności zmiennych losowych przy usuniętym wpływie innych zmiennych losowych z ustalonego zbioru.

Korelacja cząstkowa zmiennych ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ z wyłączeniem wpływu zmiennych ze zbioru ${\displaystyle \mathbf {Z} =\left\{Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right\}}$, zapisywana ${\displaystyle \rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }}$, to współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy składnikami resztowymi ${\displaystyle R_{X}}$ i ${\displaystyle R_{Y}}$ z modeli regresji liniowej prognozujących odpowiednio ${\displaystyle X}$ za pomocą ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ oraz ${\displaystyle Y}$ za pomocą ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$

Korelację cząstkową rzędu ${\displaystyle n}$ (tzn. taką, dla której ${\displaystyle |\mathbf {Z} |=n}$) można łatwo wyznaczyć na podstawie trzech korelacji cząstkowych rzędu ${\displaystyle n-1}$, przy czym za korelację cząstkową rzędu zerowego należy przyjąć zwykły współczynnik korelacji^[1].

Dla dowolnej zmiennej ${\displaystyle Z_{0}\in \mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}}}.}$

Jeżeli ${\displaystyle Z}$ jest pojedynczą zmienną, powyższy wzór sprowadza się do:

${\displaystyle \rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}.}$

• Funkcja autokorelacji cząstkowej (PACF)