Wykres funkcji Gudermanna Funkcja Gudermanna – funkcja specjalna nazwana od imienia niemieckiego matematyka, Christopha Gudermanna, zwana także amplitudą hiperboliczną lub gudermanianem , wyraża się wzorem:
gd x = ∫ 0 x d t cosh t = 2 arctg ( tgh x 2 ) = 2 arctg e x − π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{gd }}x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=2{\text{ arctg}}\left({\text{tgh }}{\frac {x}{2}}\right)\\&=2{\text{ arctg }}e^{x}-{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
Najważniejsze własności Jak widać, stosowane funkcji Gudermanna ukazuje naturalny pomost, jaki istnieje między funkcjami cyklometrycznymi a hiperbolicznymi, bez potrzeby odwoływania się do narzędzi analizy zespolonej.
Zauważmy, że:
tgh x 2 = tg gd x 2 {\displaystyle {\text{tgh }}{\frac {x}{2}}={\text{tg }}{\frac {{\text{gd }}x}{2}}} Prawdziwe są następujące tożsamości:
sinh x = tg ( gd x ) cosh x = sec ( gd x ) tgh x = sin ( gd x ) sech x = cos ( gd x ) csch x = ctg ( gd x ) ctgh x = csc ( gd x ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sinh x&=&{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\\cosh x&=&\sec \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{tgh }}x&=&\sin \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{sech }}x&=&\cos \left({\text{gd }}x\right)\\{\text{csch }}x&=&{\text{ctg}}\left({\text{gd }}x\right)\\{\text{ctgh }}x&=&\csc \left({\text{gd }}x\right)\end{array}}} Istnieje sposób wyrażenia funkcji wykładniczej przy użyciu funkcji Gudermanna:
e x = 1 cos ( gd x ) + tg ( gd x ) = sec ( gd x ) + tg ( gd x ) = tg ( π 4 + gd x 2 ) = 1 + sin ( gd x ) cos ( gd x ) {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&={\frac {1}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\&=\sec \left({\text{gd }}x\right)+{\text{tg}}\left({\text{gd }}x\right)\\&={\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {{\text{gd }}x}{2}}\right)\\&={\frac {1+\sin \left({\text{gd }}x\right)}{\cos \left({\text{gd }}x\right)}}\end{aligned}}} Pochodna funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:
d d x gd x = sech x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,{\text{gd }}x={\text{sech }}x}
Funkcja odwrotna Funkcja odwrotna do funkcji Gudermanna (oznaczamy ją arcgd x {\displaystyle {\text{arcgd }}x} lub gd − 1 x {\displaystyle {\text{gd}}^{-1}x} ) wyraża się wzorem:
arcgd x = gd − 1 x = ∫ 0 x d t cos t = arcosh ( sec x ) = artgh ( sin x ) = ln ( sec x ( 1 + sin x ) ) = ln ( tg x + sec x ) = ln tg ( π 4 + x 2 ) = 1 2 ln 1 + sin x 1 − sin x = artgh ( sin x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{arcgd }}x&={\text{gd}}^{-1}x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\\&={\text{arcosh}}\left(\sec x\right)={\text{artgh}}\left(\sin x\right)\\&=\ln \left(\sec x\left(1+\sin x\right)\right)\\&=\ln \left({\text{tg }}x+\sec x\right)=\ln {\text{tg}}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}={\text{artgh}}\left(\sin x\right)\end{aligned}}} Ponadto prawdziwe jest równanie:
i arcgd x = arcgd ( i x ) {\displaystyle i{\text{ arcgd }}x={\text{arcgd}}\left(ix\right)} Pochodna funkcji odwrotnej do funkcji Gudermanna wyraża się wzorem:
d d x arcgd x = sec x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,{\text{arcgd }}x=\sec x.}
Bibliografia CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.
Linki zewnętrzne Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Gudermannian , [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2024-04-13]. Funkcje elementarne
algebraiczne wymierne homografie wielomianowe stałe liniowe kwadratowe stopnia trzeciego stopnia czwartego potęgowe o wykładnikuwymiernym inne
przestępne krzywe tworzącewykresy funkcji algebraicznych funkcji przestępnych
powiązane tematy