Przebieg przykładowych charakterystyk amplitudowych filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa I i II typu Filtr Czebyszewa – rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne.
Typy filtrów Czebyszewa Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa:
filtr Czebyszewa I typu – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym, filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) – ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.
Typ II (inwersyjny) Filtr Czebyszewa inwersyjny (II typu) w stosunku do podstawowego filtru Czebyszewa (I typu) wykazuje zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym.
Oznaczenia charakterystyk amplitudowych częstotliwościowych filtrów prototypowych dolnoprzepustowych – FPD Podstawowe właściwości filtru Czebyszewa II typu, dla czytelności opisu, omawiane są w oparciu o filtr prototypowy dolnoprzepustowy (FDP):
operowanie częstotliwością znormalizowaną Ω , {\displaystyle \Omega ,} konwersja do filtrów górno- i pasmowoprzepustowych przez stosowne podstawienia operatora s {\displaystyle s} dla otrzymanych transmitancji K ( s ) . {\displaystyle K(s).} Kwadrat modułu transmitancji K ( s ) {\displaystyle K(s)} filtru Czebyszewa II typu, w ujęciu widmowym ( s = j ω ) , {\displaystyle (s=j\omega ),} dany jest następującym wzorem:
| K ( Ω ) | 2 = K ( S ) ⋅ K ( − S ) = 1 1 + ϵ 2 ⋅ T N 2 ⋅ ( Ω z a p Ω c ) T N 2 ( Ω z a p Ω ) , {\displaystyle |K(\Omega )|^{2}=K(S)\cdot K(-S)={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}\cdot {\frac {T_{N}^{2}\cdot \left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega _{c}}}\right)}{T_{N}^{2}\left({\frac {\Omega _{zap}}{\Omega }}\right)}}}},} gdzie:
A m a x {\displaystyle A_{max}} – przyjmuje się wartość 3 dB, ϵ {\displaystyle \epsilon } – współczynnik zafalowań w paśmie przepustowym, ϵ = 10 0 , 1 A m a x − 1 , {\displaystyle \epsilon ={\sqrt {10^{0{,}1A_{max}}-1}},} stąd: ϵ = 1 , {\displaystyle \epsilon =1,} Ω z a p {\displaystyle \Omega _{zap}} – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP, Ω c = 1 , {\displaystyle \Omega _{c}=1,} T N {\displaystyle T_{N}} – wielomian Czebyszewa rzędu N . {\displaystyle N.} Na podstawie powyższego wzoru oblicza się bieguny transmitancji K ( s ) : {\displaystyle K(s){:}}
s v = Ω z a p σ ⋅ sin ( 2 v − 1 N ⋅ Π 2 ) ± j ⋅ ω H A ⋅ cos ( 2 v − 1 N ⋅ Π 2 ) , {\displaystyle s_{v}={\frac {\Omega _{zap}}{\sigma \cdot \sin \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)\pm j\cdot \omega _{HA}\cdot \cos \left({\frac {2v-1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}}\right)}},} gdzie:
v m a x = 1 , 2 , … , N , {\displaystyle v_{max}=1,2,\dots ,N,} A m i n {\displaystyle A_{min}} – jak zaznaczono na pow. charakterystyce FDP, ω H A = cosh ( 1 N ⋅ sinh − 1 10 0 , 1 ⋅ A m i n − 1 ) , {\displaystyle \omega _{HA}=\cosh \left({\frac {1}{N}}\cdot \sinh ^{-1}{\sqrt {10^{0,1\cdot A_{min}}-1}}\right),} σ H A = ω H A 2 − 1 {\displaystyle \sigma _{HA}={\sqrt {\omega _{HA}^{2}-1}}} oraz zera transmitancji K ( s ) : {\displaystyle K(s){:}}
ω 0 μ = ± Ω z a p cos ( 2 μ − 1 N ⋅ Π 2 ) , {\displaystyle \omega _{0\mu }=\pm {\frac {\Omega {zap}}{\cos({\frac {2\mu -1}{N}}\cdot {\frac {\Pi }{2}})}},} gdzie:
μ m a x = { N − 1 2 dla N-nieparzystych N 2 dla N-parzystych } . {\displaystyle \mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}}.} Po obliczeniu biegunów i zer następuje podstawienie (biegunów tylko tych, których części R e < 0 {\displaystyle Re<0} !) do wzoru na transmitancję K ( s ) : {\displaystyle K(s){:}}
K ( s ) = ∏ μ = 1 μ = m a x ⋅ ( s 2 + ω o μ 2 ) ∏ v = 1 v = m a x ⋅ ( s − s v ) , {\displaystyle K(s)={\frac {\prod _{\mu =1}^{\mu =max}\cdot (s^{2}+\omega _{o\mu }^{2})}{\prod _{v=1}^{v=max}\cdot (s-s_{v})}},} gdzie:
μ m a x = { N − 1 2 dla N-nieparzystych N 2 dla N-parzystych } , {\displaystyle \mu _{max}={\begin{Bmatrix}{\frac {N-1}{2}}\quad {\text{dla N-nieparzystych}}\\{\frac {N}{2}}\quad {\text{dla N-parzystych}}\end{Bmatrix}},} v m a x = 1 , 2 , … , N . {\displaystyle v_{max}=1,2,\dots ,N.}
Przykład Przykładowa transmitancja K ( s ) {\displaystyle K(s)} dla filtru FDP rzędu 3 ( N = 3 ) {\displaystyle (N=3)} o parametrach Ω z a p = 1 , 15 , {\displaystyle \Omega _{zap}=1{,}15,} A m i n = 9 dB : {\displaystyle A_{min}=9\ {\text{dB}}{:}}
K ( s ) = s 2 + 1,327 9 2 ( s 2 + 0,619 9 ⋅ s + 1,197 4 ) ⋅ ( s + 1,931 5 ) . {\displaystyle K(s)={\frac {s^{2}+1{,}3279^{2}}{(s^{2}+0{,}6199\cdot s+1{,}1974)\cdot (s+1{,}9315)}}.} Przykładowa charakterystyka amplitudowa filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3
Właściwości filtru Czebyszewa inwersyjnego (II typu) Rodzina charakterystyk amplitudowych filtru dolnoprzepustowego Czebyszewa II typu – rząd N = 3 Przy założeniu parametrów pasma przepustowego: A m a x {\displaystyle A_{max}} = 3 dB @ Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} = 1, główne właściwości filtru Czebyszewa II typu są następujące:
przy stałym rzędzie N {\displaystyle N} filtru, istotna jest zależność pomiędzy A m i n {\displaystyle A_{min}} a Ω z a p , {\displaystyle \Omega _{zap},} gdy wartości Ω z a p {\displaystyle \Omega _{zap}} bliskie Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} = 1 – powodują zmniejszanie wartości A m i n {\displaystyle A_{min}} (zjawisko niekorzystne), gdy Ω z a p ≪ 1 , {\displaystyle \Omega _{zap}\ll 1,} wtedy zwiększa się wartość A m i n {\displaystyle A_{min}} (zmniejszenie zafalowań w paśmie zaporowym), ale również poszerza się pasmo przejściowe.
Bibliografia Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G.: Teoria sygnałów , Helion, Gliwice 1999. G. Fritzsche, Entwurf linearer Schaltungen , VEB Verlag Technik, 1962.
Linki zewnętrzne Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-03)]. Rodzaje filtrów elektrycznych
Typy filtrów Filtry liniowe filtry Butterwortha filtry Czebyszewa filtry Bessela filtry Gaussa filtry eliptyczne Filtry cyfrowe Tematy pokrewne