Całka Volkenborna
W analizie p-adycznej, całka Volkenborna jest narzędziem stosowanym do całkowania funkcji określonych na zbiorze liczb p-adycznych.
Definicja
Niech będzie lokalnie analityczną funkcją z pierścienia całkowitych liczb p-adycznych, w uzupełnienie algebraicznego domknięcia ciała ułamków tego pierścienia. Oznacza to, że dla każdego punktu istnieje otoczenie, w którym funkcja rozwija się w zbieżny szereg potęgowy. Całka Volkenborna jest wtedy określona przez
Historia
Na przestrzeni ciągłych funkcji nie istnieje niezmiennicza na przesunięcia forma liniowa. Pomysł, by całkować funkcje p-adycznych mieli już F. Thomas oraz F. Bruhat. Definicja ich całki okazała się być jednak zbyt ograniczona dla celów analizy oraz teorii liczb.
Arnt Volkenborn rozwinął w swojej pracy dyplomowej na Uniwersytecie Kolońskim w 1971 roku uogólnioną całkę p-adyczną, która później została nazwana jego imieniem. Wszystkie lokalnie analityczne funkcje, włączając w to szeregi Laurenta, są całkowalne. Całka ta znalazła zastosowanie przy obliczaniu tak zwanych uogólnionych p-liczb Bernoulliego i innych p-adycznych funkcji.
Własności
Z równości
wynika, że całka nie jest niezmiennicza na przesunięcia.
Jeżeli to
Przykłady
- k-ta liczba Bernoulliego.
- gdzie to p-adyczna funkcja digamma.
Bibliografia
- Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972, ISSN 0025-2611, s. 341–373. pdf
- Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974, ISSN 0025-2611, s. 17–46. pdf
- Alain M. Robert: A Course on p-adic Analysis (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 198). Springer, New York u. a. 2000, ISBN 0-387-98669-3, s. 263–279.
- Min-Soo Kim, Jin-Woo Son: Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers. In: Bulletin of the Korean Mathematical Society. Bd. 44, Nr. 1, 2007, ISSN 1015-8634, S. 1–12, online.