Aproksymacja liniowa
![Wikipedia:Weryfikowalność](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png)
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/TangentGraphic2.svg/300px-TangentGraphic2.svg.png)
Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.
Interpolacja liniowa
Osobny artykuł: Interpolacja liniowa.
Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.
Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora
Dla danej funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla można napisać:
gdzie jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:
Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:
i przybliżenie to jest tym lepsze, im jest bliższe Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie o współrzędnych
Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:
Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji w punkcie o współrzędnych
Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:
gdzie jest pochodną Frecheta funkcji dla
Przykład
Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości
- Rozważana jest funkcja Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji
- Jest
- Korzystając z aproksymacji liniowej:
- Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…
- NKC: ph122354
- Britannica: topic/linear-approximation