Sfærisk harmonisk funksjon

Sfærisk harmoniske funksjoner er spesielle funksjoner definert på overflaten til en kule. De kalles derfor ofte for kuleflatefunksjoner. Når Laplace-operatoren uttrykkes i kulekoordinater, er de egenfunksjoner til den vinkelavhengige delen av operatoren. På den måten spiller de en viktig rolle i løsning av mange partielle differensialligninger. Dette gjelder også for løsninger av Schrödinger-ligningen slik at funksjonene dermed bidrar til forståelse av egenskapene til atomer og molekyler.

Trigonometriske funksjoner er periodiske i vinkelkoordinaten på en sirkel. De kalles derfor alternativt for «sirkelfunksjoner». På tilsvarende vi er de sfærisk harmoniske funksjonene periodiske i de to koordinatene på en kuleflate. Betegnelsen «harmonisk» skyldes at de opptrer i løsningene av Laplace-ligningen når denne uttrykkes i kartesiske koordinater x, y og z. Løsningene av denne ligningen er da homogene polynom i disse tre variable og sies å være harmoniske. De sfærisk harmoniske funksjonene fremkommer når disse polynomene uttrykkes i kulekoordinater r, θ og φ som også omtales som «sfæriske koordinater».

Rent matematisk danner funksjonene grunnlaget for representasjoner av rotasjonsgruppen SO(3) i tre dimensjoner. Mer fysisk fremkommer de på tilsvarende vis ved kvantisering av dreieimpuls i kvantemekanikken.

De kartesiske koordinatene x, y og z  kan uttrykkes ved kulekoordinater ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ som ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,}$ ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$ og ${\displaystyle z=r\cos \theta .}$ Laplace-operatoren i tre dimensjoner tar dermed formen

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}&={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\\&={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{2 \over r}{\partial \over \partial r}+{1 \over r^{2}}\!\left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

Løsninger av Laplace-ligningen ${\displaystyle \nabla ^{2}F(x,y,z)=0}$ kan da skrives som et produkt ${\displaystyle F(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )}$ av en radiell del og en angulær del. Hvis denne siste delen skal være kontinuerlig og periodisk i begge sine koordinater, må den oppfylle den partielle differensialligningen

${\displaystyle \left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$

hvor ℓ er et heltall. Samtidig må indeksen m ligge i intervallet - ℓ ≤ m ≤ ℓ og tar derfor 2ℓ + 1 forskjellige verdier. Løsning av ligningen er de sfærisk harmoniske funksjonene.^[1]

Fra formen til differensialligningen som definerer kuleflatefunksjonene, følger at dens løsninger må kunne skrives som et produkt av to funksjoner,

${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\Theta _{\ell m}(\theta )\Phi _{m}(\phi )}$

Disse må igjen tilfredsstille hver sin egen differensialligning. Den første er

${\displaystyle {d^{2} \over d\phi ^{2}}\Phi _{m}+m^{2}\Phi _{m}=0}$

som har løsninger av formen ${\displaystyle \Phi _{m}(\phi )=e^{im\phi }}$ eller reelle kombinasjoner av to slike. For at ${\displaystyle \Phi _{m}(\phi )=\Phi _{m}(\phi +2\pi ),}$ må m  være et heltall. Samtidig må den andre funksjonen oppfylle

${\displaystyle {1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta \,{d\Theta _{\ell m} \over d\theta }\right)+{\Big [}\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\Big ]}\Theta _{\ell m}=0}$

Denne differensialligningen definerer de assosierte Legendre-polynomene ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta ).}$ På denne måten finner man at de sfæriske harmoniske funksjonene kan skrives som

${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi },\quad -\ell \leq m\leq \ell }$

når de normeres ved integralet

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!d\phi \!\int _{0}^{\pi }\!d\theta \sin \theta \,Y_{lm}^{*}(\theta ,\phi )\,Y_{l'm'}(\theta ,\phi )=\delta _{l\,l'}\,\delta _{mm'}}$

over hele kuleflaten. Da funksjonene er komplekse, er her konvensjonen

${\displaystyle Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi )}$

benyttet. I litteraturen forekommer også andre konvensjoner.^[2]

De første sfærisk harmonisk funksjoner fra ℓ = 0 til og med ℓ = 3:

Yℓm	ℓ = 0	ℓ = 1	ℓ = 2	ℓ = 3
m = −3				${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{-3\mathrm {i} \phi }}$
m = −2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{-2\mathrm {i} \phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{-2\mathrm {i} \phi }}$
m = −1		${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{-\mathrm {i} \phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{-\mathrm {i} \phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{-\mathrm {i} \phi }}$
m = 0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)}$
m = 1		${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\theta }\,e^{\mathrm {i} \phi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\theta }\,\cos {\theta }\,e^{\mathrm {i} \phi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\theta }\left(5\cos ^{2}{\theta }-1\right)\,e^{\mathrm {i} \phi }}$
m = 2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\,e^{2\mathrm {i} \phi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\theta }\cos {\theta }\,e^{2\mathrm {i} \phi }}$
m = 3				${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\theta }\,e^{3\mathrm {i} \phi }}$

På en kuleflate med koordinater ${\displaystyle \theta ,\phi }$ danner de sfærisk harmoniske funksjoner et «komplett sett». Det betyr at en vilkårlig funksjon ${\displaystyle f(\theta ,\phi )}$ kan utvikles i en uendelig rekke som

${\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$

hvor koeffisientene C_ℓm kan finnes fra integralet

${\displaystyle C_{\ell m}=\int _{0}^{2\pi }\!d\phi \int _{0}^{\pi }\!d\theta \,\sin \theta \,f(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\phi )}$

Dette tilsvarer å utvikle en funksjon på sirkelen som en uendelig Fourier-rekke med ledd som involverer de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.^[3]

En variant av den vanlige cosinussetningen i planet eksistrer også på en kuleflate med sfærisk geometri. Der kan man angi et punkt med enhetsvektoren n i retning punktet (θ, φ). For to forskjellige retninger n og n'  som danner vinkelen γ, gjelder da setningen

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '=\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$

Ved å benytte at kuleflatefunksjonene utgjør et fullstendig sett, kan man da utlede den viktige forbindelsen

${\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} ')={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {n} )\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {n} ')}$

med Legendre-polynom. Den kalles for addisjonsteoremet for sfærisk harmoniske funksjoner og har mange anvendelser.^[1]

En partikkel i posisjon r og med impuls p har i klassisk mekanikk dreieimpulsen L = r × p. I en kvantemekanisk beskrivelse blir impulsen erstattet med en operator p → -iħ ∇ der ħ  er den reduserte Planck-konstanten. På denne måten blir også dreieimpulsen en operator

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar \mathbf {r} \times {\boldsymbol {\nabla }}}$

Den kan kvantiseres ved bruk av komponentene ${\displaystyle {\hat {L}}_{\pm }={\hat {L}}_{x}\pm i{\hat {L}}_{y}}$ sammen med ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar (x\partial _{y}-y\partial _{x}).}$ Ved bruk av kulekoordinater tar disse tre operatorene formen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{\pm }&=\hbar \,e^{\pm i\phi }\left(\pm {\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar {\partial \over \partial \phi }\end{aligned}}}$

Kvadratet av den totale dreieimpuls finnes da som

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}&={\hat {L}}_{-}{\hat {L}}_{+}+{\hat {L}}_{z}^{2}+\hbar {\hat {L}}_{z}\\&=-\hbar ^{2}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

Fra definisjonen av kuleflatefunksjonene ser man herav at de er egenfunksjoner til de to operatorene ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}}$ og ${\displaystyle {\hat {L}}_{z},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y_{\ell m}&=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell m}\\{\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}&=\hbar mY_{\ell m}\end{aligned}}}$

Indeksen ℓ er derfor et kvantetall som angir størrelsen tilden totale, kvantiserte dreieimpuls. Den blir derfor ofte omtalt som det «orbitale kvantetallet». Da indeksen m samtidig gir egenverdien til dreieimpulsen langs z-aksen som ofte sammenfaller med retningen til et ytre magnetfelt, kalles denne vanligvis for det «magnetiske kvantetallet».^[4]

En egentilstand til dreieimpulsoperatoren kan skrives som en ketvektor ${\displaystyle |\ell ,m\rangle .}$ De sfærisk harmoniske funksjonene kan da betraktes som bølgefunksjoner

${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle }$

i en posisjonsbasis dannet av punkter på kuleflaten. En rotasjon av dette koordinatsystemet er nå gitt ved den kvantemekaniske rotasjonsoperatoren

${\displaystyle {\hat {R}}({\boldsymbol {\alpha }})=e^{-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {L} }}/\hbar }}$

hvor α = (α,β,γ) er de tre eulervinklene som definerer rotasjonen. Bølgefunksjonene til systemet vil da forandres og finnes fra

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )&=\langle \theta ',\phi '|{\hat {R}}({\boldsymbol {\alpha }})|\ell ,m\rangle \\&=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m'}(\theta ',\phi ')D_{m'm}^{(\ell )}({\boldsymbol {\alpha }})\end{aligned}}}$

etter å ha innført rotasjonsmatrisene

${\displaystyle D_{m'm}^{(\ell )}({\boldsymbol {\alpha }})=\langle \ell ,m'|{\hat {R}}({\boldsymbol {\alpha }})|\ell ,m\rangle }$

til Eugene Wigner. De kan eksplisitt beregnes for hver verdi av det orbitale kvantetallet ℓ og har dimensjon (2ℓ +1)×(2ℓ + 1). For ℓ = 1 kan de finnes uten bruk av kvantemekanikk da de tilsvarer rotasjon av en tredimensjonal vektor.^[4]

• Laplace-ligning
• Legendre-polynom
• Kvantisert dreieimpuls

• H. Haber, The Spherical Harmonics, Phys. 116C, UC Santa Cruz (2012).
• Professor M, The Spherical Harmonics, YouTube video
• R.G. Littlejohn, Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics, Physics 221A , UC Berkeley (2019).