Arzelà–Ascolis teorem

Arzelà–Ascolis teorem, også kalt Ascoli–Arzelàs teorem eller bare Ascolis teorem er et viktig resultat innen matematisk analyse og gir nødvendige (og tilstrekkelige) betingelser for hvorvidt en familie av reelle kontinuerlige funksjoner, definert over et topologisk rom med visse egenskaper, har en uniformt kontinuerlig delfølge. Teoremet kommer i flere varianter, der både betingelser og implikasjoner er formuliert på forskjellige måter i forskjellige kilder.

Teoremet er kalt opp etter de italienske matematikerne Cesare Arzelà og Giulio Ascoli. Ascoli oppdaget at grensen av en funksjonsfølge der alle funksjoner ${\displaystyle f_{n}}$ er kontinuerlige med bunden varians også må være kontinuerlig, og introduserte dermed (i 1883) begrepet ekvikontinuerlig og satte opp de nødvendige betingelsene for at teoremet skal holde.^[1] At dette også er tilstrekkelig ble bevist av Arzelà i 1889.^[2]

Formulering

Arzelà–Ascolis teorem kan formuleres på følgende måte:^[3] La ${\displaystyle \{f_{n}\}_{k=1}^{\infty }}$ være en følge av reelle uniformt ekvikontinuerlige funksjoner, det vil si at for hver funksjon ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, så er

${\displaystyle |f_{k}(x)|\leq M}$

og for en gitt ${\displaystyle \epsilon >0}$, så finnes en ${\displaystyle \epsilon >0}$ slik at

${\displaystyle |f_{k}(x)-f_{k}(y)|<\epsilon }$

hvis ${\displaystyle |x-y|\leq \delta }$, og dette gjelder (med de samme konstantene ${\displaystyle M,\epsilon ,\delta }$) for alle funksjoner ${\displaystyle f_{k}}$, for alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$. Da finnes en delfølge ${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }\subseteq \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ og en kontinuerlig funksjon ${\displaystyle f}$ slik at ${\displaystyle \{f_{k_{j}}\}_{j=1}^{\infty }}$ konvergerer uniformt til f på alle kompakte delmengder av ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Formuleringen over gir tilstrekkelige betingelser, men ikke nødvendige; det viser at hvis betingelsene er oppfylt, så finnes en konvergent delfølge. Det motsatte er imidlertid også sant – hvis en slik konvergent delfølge eksisterer, så er delfølgen en familie som er ekvikontinuerlig og bundet – og regnes av og til som en del av teoremet.

Dette kan, mer generelt, formuleres slik:^[4]

1. Hvis X er et kompakt Hausdorff-rom og F en ekvikontinuerlig, punktvis bundet familie av funksjoner, så er F totalt bundet og lukningen av F er kompakt.
2. Hvis X er et lukket σ-kompakt Hausdorff-rom, og ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ en følge av ekvikontinuerlige, punktvis bunktvis bundede funksjoner, så finnes det en konvergent delfølge av ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ slik at denne konvergerer uniformt til en kontinuerlig funksjon ${\displaystyle f}$.

Referanser