Alef-tall

Alef-tall er i mengdelære, et område i matematikk, en følge av tall som brukes for å representere kardinaliteten (størrelsen) til en uendelig mengde. De er oppkalt etter det hebraiske symbolet, alef (${\displaystyle \aleph }$) som er brukt for å representere dem.

Kardinaliteten til de naturlige tallene er ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-null). Det neste kardinaltallet større enn ${\displaystyle \aleph _{0}}$ er ${\displaystyle \aleph _{1}}$, påstanden at kardinaliteten til de reelle tallene er lik ${\displaystyle \aleph _{1}}$ er kjent som kontinuumhypotesen og er uavhengig av ZFC (Zermelo–Fraenkel mengdelære og utvalgsaksiomet). Det finnes kardinaltall ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ og ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ for et hvert ordinaltall ${\displaystyle \alpha }$ og ${\displaystyle \beta }$ slik at ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ < ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ hvis ${\displaystyle \alpha }$ < ${\displaystyle \beta }$.

Kardinaltallene ble definert av Georg Cantor, som innså at forskjellige uendelige mengder kunne ha forskjellige størrelser og at det med andre ord fantes flere uendelige tall.

${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-null) er kardinaliteten til mengden av naturlige tall, og er det minste uendelige kardinaltallet. En mengde med kardinalitet ${\displaystyle \aleph _{0}}$ kalles tellbart uendelig fordi det finnes en bijeksjon mellom mengden og de naturlige tallene. Eksempler på slike mengder er:

• mengden av alle kvadrattall, mengden av alle kubikktall, mengden av alle tall til fjerde potens...
• mengden av alle partall, mengden av alle oddetall,
• mengden av alle primtall, mengden av alle sammensatte tall,
• mengden av alle heltall,
• mengden av alle rasjonale tall,
• mengden av alle algebraiske tall,
• mengden av alle endelige delmengder av en tellbart uendelig mengde.