Stelling van Lagrange (groepentheorie)
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, legt de stelling van Lagrange een verband tussen de orde van een eindige groep en die van de ondergroepen ervan. De stelling zegt dat de orde van een groep kan worden gedeeld door de van de orde van de ondergroepen van . Anders gezegd: het aantal elementen van de groep is een geheel veelvoud van het aantal elementen van een ondergroep. De stelling is naar Joseph-Louis Lagrange genoemd.
Definitie
Zij een eindige groep en een ondergroep van . Volgens de stelling van Lagrange kan de orde van door de orde van worden gedeeld, anders gezegd is het aantal elementen in altijd een heel, positief veelvoud van het aantal elementen in .
Veronderstel dat een groep met elementen is en dat de orde van de ondergroep van gelijk aan is.
Dan is door te delen.
De rechter nevenklasse van in voor een willekeurige is
- .
dus .
Wanneer is .
Wanneer is . Dan is , omdat een groep is. Bijvoorbeeld , dan is en dat is in tegenspraak met de veronderstelling.
Vergelijk twee rechter nevenklassen en met elkaar. Veronderstel dat er een is, zodat en . Dan zijn er twee en , zodat . Noem , dan is , dus is .
Wanneer , is .
Ieder element is vanzelf element van een rechter nevenklasse van in . Het aantal elementen in iedere rechter nevenklasse van is . Dus is door te delen.
Dit bewijs is geleverd met rechternevenklassen, maar kan op dezelfde manier met de linkernevenklassen worden gegeven.Voorbeelden
- is gelijk aan het aantal nevenklassen van in , oftewel is. Deze waarde noemt men de index van in en wordt genoteerd als:
- De orde van de alternerende groep is 12, dus kan 12 door de orde van alle mogelijk ondergroepen van worden gedeeld. Het is niet gezegd dat alle getallen , zodat 12 door kan worden gedeeld, als de orde van een ondergroep van voorkomen. heeft bijvoorbeeld geen ondergroep waarvan de orde 6 is, maar overigens wel ondergroepen van de orde 1, 2, 3, 4 en 12.
Websites
- MathWorld. Lagrange's Group Theorem.
- YouTube. Cosets and Lagrange’s Theorem - The Size of Subgroups (Abstract Algebra).