Möbius-transformatie

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een möbius-transformatie van het complexe vlak een rationale functie van de vorm

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

van een complexe variabele ${\displaystyle z}$, met de coëfficiënten ${\displaystyle a,b,c,d}$ complexe getallen die voldoen aan ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$. Möbius-transformaties zijn naar August Ferdinand Möbius genoemd, maar worden ook wel homografische transformaties, lineaire fractionele transformaties of gebroken lineaire transformaties genoemd.

Möbius-transformaties worden op het uitgebreide complexe vlak gedefinieerd, dat wil zeggen het complexe vlak vermeerderd met het punt op oneindig:

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty }$

Dit uitgebreide complexe vlak kan als een boloppervlak worden beschouwd, de riemann-sfeer, of als de complexe projectieve lijn. Elke möbius-transformatie is een bijectieve conforme of hoekgetrouwe afbeelding van de riemann-sfeer op zichzelf. Iedere afbeelding waarvoor dit het geval is, is een möbius-transformatie.

De verzameling van alle möbius-transformaties vormen een groep onder compositie, de möbius-groep. Het is de automorfismegroep van de riemann-sfeer, wanneer deze als een riemann-oppervlak wordt beschouwd. De groep wordt soms aangeduid door

${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$