正形式

複素幾何学では、正形式(positive form)とは、ホッジタイプ (p, p) の実形式である。

(1,1)-形式

複素多様体 M 上の実 (p,p)-形式は、タイプ (p,p) の実形式、つまり、交叉

Λ p , p ( M ) ∩ Λ 2 p ( M , R ) {\displaystyle \Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R}})}

を持つ形式である。実 (1,1)-形式 ω {\displaystyle \omega } は正ということと、次の同値な条件が満たされることとは同値である。

  1. − 1 ω {\displaystyle {\sqrt {-1}}\omega } は正（必ずしも正定値である必要はない）の虚部を持つエルミート形式である。
  2. (1,0)-形式の空間 Λ 1 , 0 M {\displaystyle \Lambda ^{1,0}M} のある基底 d z 1 , . . . d z n {\displaystyle dz_{1},...dz_{n}} に対し、 − 1 ω {\displaystyle {\sqrt {-1}}\omega } は対角行列の形、非負な α i {\displaystyle \alpha _{i}} をもつ実形式 − 1 ω = ∑ i α i d z i ∧ d z ¯ i {\displaystyle {\sqrt {-1}}\omega =\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i}} と書くことができる。
  3. 任意の (1,0) 接ベクトル v ∈ T 1 , 0 M {\displaystyle v\in T^{1,0}M} に対し、 − − 1 ω ( v , v ¯ ) ≥ 0 {\displaystyle -{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0}
  4. I : T M ↦ T M {\displaystyle I:\;TM\mapsto TM} を複素構造を決める作用素とすると、任意の実接ベクトル v ∈ T M {\displaystyle v\in TM} に対し、 ω ( v , I ( v ) ) ≥ 0 {\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0} である。

正のラインバンドル

代数幾何学では、正の (1,1)-形式は、豊富なラインバンドルの曲率形式として現れる（また、正のラインバンドルとして知られている）。L を複素多様体上の正則なエルミートラインバンドルとすると、

∂ ¯ : L ↦ L ⊗ Λ 0 , 1 ( M ) {\displaystyle {\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)}

は、複素多様体自身の複素構造を決める作用素である。従って、L は、エルミート構造を保存し、同時に、

∇ 0 , 1 = ∂ ¯ {\displaystyle \nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}}

を満たす一意な接続を持つ。

この接続をチャーン接続という。

チャーン接続の曲率 Θ {\displaystyle \Theta } は、常に、純虚数 (1,1)-形式である。ラインバンドル L は、

− 1 Θ {\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta }

が、正定値 (1,1)-形式であるとき、正であると呼ぶ。小平埋め込み定理は正のラインバンドルは豊富であり、逆に、任意の豊富なラインバンドルは − 1 Θ {\displaystyle {\sqrt {-1}}\Theta } が正定値なエルミート計量を持つことを言っている。

(p, p)-形式の正値性

M 上の純 (1,1)-形式は、凸錐(convex cone)を形成する。M が次元 d i m C M = 2 {\displaystyle dim_{\mathbb {C}}M=2} のコンパクトな複素曲面でれば、ポアンカレ双対

η , ζ ↦ ∫ M η ∧ ζ {\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }

を考えると自己双対である凸錐（英語版）(self-dual)を持っている。

2 ≤ p ≤ d i m C M − 2 {\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C}}M-2} のとき (p, p)-形式に対し、正値性に関して 2つの異なった考え方がある。正の実係数を持つ正形式の積の線型結合であるときは、強い正値性を持つといわれる。n-次元複素多様体 M 上の実 (p, p)-形式 η {\displaystyle \eta } は、コンパクトな台を持ち、強い正値性を持つすべての (n-p,n-p)-形式 ζ に対し、 ∫ M η ∧ ζ ≥ 0 {\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0} であるときに、弱い正値性を持つといわれる。

弱い正値性と強い正値性は、凸錐を作る。コンパクトな多様体上では、これらの錐はポアンカレのペアについて自己双対（英語版）(dual)である。

参考文献

  • Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Wiley. ISBN 0-471-32792-1
  • J.-P. Demailly, L2 vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994).