垂足円

垂足円（すいそくえん、英: pedal circle）は、幾何学において三角形${\displaystyle ABC}$と点${\displaystyle P}$について決まる特別な円である。具体的には、点${\displaystyle P}$から${\displaystyle \triangle ABC}$の辺に降ろした垂線と辺の交点${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$（垂足）が成す三角形（垂足三角形）の外接円を指す用語^[1][2]。

基準三角形の外心を${\displaystyle O}$、外接円の半径をそれぞれ${\displaystyle R}$として、${\displaystyle P}$の垂足円の半径${\displaystyle r_{P}}$は次の式で表される^[2]。

${\displaystyle r_{P}={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}}$

${\displaystyle P}$が基準三角形の外接円上にあるとき、この式の分母は0になる。これは${\displaystyle P}$の垂足三角形が退化してシムソン線となり、その垂足円は半径が無限大の円となるためである。${\displaystyle P}$が基準三角形の内心であるとき、その垂足円は基準三角形の内接円である。${\displaystyle P}$が基準三角形の垂心または外心であるとき、その垂足円は九点円である^[3]。

${\displaystyle P}$を外接円上にない点として、${\displaystyle P}$の等角共役点${\displaystyle Q}$の垂足円は${\displaystyle P}$の垂足円と一致する。つまり垂足${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$と${\displaystyle Q_{a},Q_{b},Q_{c}}$は同一円周上にある。さらに垂足円の中心は線分${\displaystyle PQ}$の中点である^[1]。

グリフィスの定理または第二フォントネーの定理によれば、基準三角形の外心を通る直線の垂足円はある定点を通る^[4]。

共線でない4点${\displaystyle A,B,C,D}$について、1点とほか3点の成す三角形に対する延べ4つの垂足円は1点で交わる^[3]。

1. ^ ^{a b} Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75
2. ^ ^{a b} Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240
3. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W. "Pedal Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
4. ^ Weisstein, Eric W. "Griffiths' Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

• オイラー・ポンスレ点

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• Pedal Circle of Isogonal Conjugates - GeoGebra
• pedal triangle and pedal circle
• 等角共役点