加群の台

可換環論において、可換環 A 上の加群 M の台 (support) は ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$ であるような A のすべての素イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ の集合である^[1]。それは ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$ で表記される。

${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}$

特に、M = 0 であることとその台が空であることは同値である。

• 0 → M′ → M → M′′ → 0 を A-加群の完全列とする。このとき

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').}$

• M が部分加群 M_λ の和であれば、

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).}$

• M が有限生成 A-加群であれば、Supp(M) は M の零化イデアルを含むすべての素イデアルの集合である。

${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=V(\operatorname {Ann} M)}$

特に、それは閉である。

• M, N が有限生成 A-加群であれば、

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).}$

• M が有限生成 A-加群であり、I が A のイデアルであれば、Supp(M/IM) は I + Ann(M) を含むすべての素イデアルの集合である。

${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)=V(I+\operatorname {Ann} (M))=V(I)\cap \operatorname {Supp} (M).}$

• 随伴素因子

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. MR0217083. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_.