二重メルセンヌ数
二重メルセンヌ数(にじゅうメルセンヌすう)は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。
- (pは素数)
例
二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り[1] オンライン整数列大辞典の数列 A077586:
二重メルセンヌ素数
二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 Mp は p が素数である場合のみ素数となるため(証明はメルセンヌ数参照)、二重メルセンヌ素数 は Mp それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。Mp が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のときは素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの の陽因数が見つかっている。
の素因数分解 | |||
---|---|---|---|
2 | 3 | 素数 | 7 |
3 | 7 | 素数 | 127 |
5 | 31 | 素数 | 2147483647 |
7 | 127 | 素数 | 170141183460469231731687303715884105727 |
11 | 素数ではない | 素数ではない | 47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ... |
13 | 8191 | 素数ではない | 338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ... |
17 | 131071 | 素数ではない | 231733529 × 64296354767 × ... |
19 | 524287 | 素数ではない | 62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ... |
23 | 素数ではない | 素数ではない | 2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ... |
29 | 素数ではない | 素数ではない | 1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ... |
31 | 2147483647 | 素数ではない | 295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ... |
37 | 素数ではない | 素数ではない | |
41 | 素数ではない | 素数ではない | |
43 | 素数ではない | 素数ではない | |
47 | 素数ではない | 素数ではない | |
53 | 素数ではない | 素数ではない | |
59 | 素数ではない | 素数ではない | |
61 | 2305843009213693951 | 不明 | (4×1033より小さい素因数はない) |
次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、= 22305843009213693951 − 1である。この数はおよそ1.695×10694127911065419641であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×1033より小さい素因数はない[2]。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている[1][3]。
(pはn番目の素数)の素因数は以下の通り
- 7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (次は4×1033より大きい) オンライン整数列大辞典の数列 A263686
カタラン・メルセンヌ数予想
の代わりに と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。
- 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... オンライン整数列大辞典の数列 A007013
これをカタラン・メルセンヌ数という[4]。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた[1][5]。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項(M127未満)は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを(妥当な時間内に)証明する既知の方法はない。しかし、MM127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでMM127 を計算して見つけることができる(再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはMM127 の因数であるため、その素数性を反証できる。MM127 はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M127+1の形でなければならない)。
関連項目
脚注
- ^ a b c Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
- ^ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(261 − 1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22.
- ^ I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
- ^ Weisstein, Eric W. "Double Mersenne number". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ “Questions proposées”. Nouvelle correspondance mathématique 2: 94–96. (1876). https://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up. (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:
関連文献
- Dickson, L. E. (1971) [1919], History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing .
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Double Mersenne Number". mathworld.wolfram.com (英語).
- Tony Forbes, A search for a factor of MM61.
- Status of the factorization of double Mersenne numbers
- Double Mersennes Prime Search
- Operazione Doppi Mersennes
素数の分類 | |
---|---|
生成式 |
|
漸化式(英語版) | |
各種の性質 | |
基数依存 | |
組 | |
桁数 | |
複素数 |
|
合成数 | |
関連する話題 | |
最初の50個 | |
素数の一覧 |
自然数の類 | |||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
冪数(累乗数)および関連概念 | |||||||||||||||||||||
a × 2b ± 1 の形 | |||||||||||||||||||||
多項式数 | |||||||||||||||||||||
漸化式から定められる数 | |||||||||||||||||||||
その他の特定の性質を持つ数の集合 | |||||||||||||||||||||
特定の和を通じて表される数 | |||||||||||||||||||||
篩を通じて生成される数 | |||||||||||||||||||||
符号関連 |
| ||||||||||||||||||||
図形数 |
| ||||||||||||||||||||
擬素数 | |||||||||||||||||||||
組合せの数 | |||||||||||||||||||||
数論的関数 |
| ||||||||||||||||||||
商を割る |
| ||||||||||||||||||||
その他、素因子・約数関連の数 | |||||||||||||||||||||
娯楽数学(英語版) |
| ||||||||||||||||||||
|