リーマン和(リーマンわ、英語: Riemann sum)とは、 実数区間 上で、 なる数列があるとし、 代表点 と数列の有限差分 が を満たし、 区間 上で定義された実数値連続函数 があるとき、
のことである。
この での極限が、リーマン積分
である[1]。 ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。 最初にリーマン和を左リーマン和 と右リーマン和 の形で導入したのはオイラーであるが、 それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。 以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった [2] [3]。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが,Cauchy は定積分をまず定義した後, を定理として導いた.こうした発想の逆転も Cauchy に負う.[4]" これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。
における
の右リーマン和
リーマン和の具体例
被積分函数が単項式のとき
例えば、 で のとき
等差数列
等差数列 をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
となる[5]。
等比数列
等比数列 をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
となる。
は で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で
の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 の極限で収束するので、
が得られる。
積分の結果が対数となるとき
で のとき
等比数列 をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
となる[6]。 は で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で
の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 の極限で収束するので、
が得られる。
参考文献
- ^ 『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳
- ^ 二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191
- ^ 安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195
- ^ 岩波『数学辞典』第四版, p.106
- ^ 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181
- ^ 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183