ボンネゼンの不等式 (ボンネゼンのふとうしき、英 : Bonnesen's inequality )またはボンネゼンの定理 はジョルダン曲線 の外接円 と内接円 、面積 、周長 に関する不等式 である。ユークリッド平面 における等周不等式 より強力である[ 1] [ 2] [ 3] 。
具体的には、平面上の単純な閉曲線 S {\displaystyle S} の周長を L {\displaystyle L} 、面積を A {\displaystyle A} 、内接円と外接円の半径 をそれぞれ r , R {\displaystyle r,R} とする。トミー・ボンネゼン は次の不等式を証明した[ 4] [ 註 1] 。 π 2 ( R − r ) 2 ≤ L 2 − 4 π A . {\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq L^{2}-4\pi A.} 右辺の L 2 − 4 π A {\displaystyle L^{2}-4\pi A} は"isoperimetric defect "として知られる[ 1] 。
レヴナーのトーラス不等式(英語版) におけるisosystolic defectはボンネゼンの不等式のisoperimetric defectのシストリック(英語版) な類似物である[ 5] 。
証明 次の証明はヒューゴ・ハドヴィッガー に帰せられる[ 6] 。原点中心、半径tの円を t B {\displaystyle tB} とする。また、関数 Area ( x ) {\displaystyle {\text{Area}}(x)} を閉集合x の面積とする。
図1 内接円 r B {\displaystyle rB} と外接円 C {\displaystyle C} の半径がそれぞれ r , R {\displaystyle r,R} である凸 コンパクト集合 S {\displaystyle S} を考える。図1では、 S {\displaystyle S} を紫色の正方形 、内接円を緑色、外接円を青色で示してある。 S {\displaystyle S} に含まれず、 C {\displaystyle C} に含まれる部分を Z {\displaystyle Z} とする。ミンコフスキー和 Z + r B {\displaystyle Z+rB} の面積と半径 r + R {\displaystyle r+R} の円(図1,黄)について
Area ( Z + r B ) = π ( r + R ) 2 {\displaystyle {\text{Area}}(Z+rB)=\pi (r+R)^{2}}
が成立する。
図2 次に内接円、外接円の中心を通る直線Δ で Z {\displaystyle Z} を半分に切断する。上の部分を Z s {\displaystyle Z_{s}} とする。 Z s , r B {\displaystyle Z_{s},rB} のミンコフスキー和は半径 r + R {\displaystyle r+R} の半円板と図2の様な薄黄色の部分の和集合になる。l 1 ,l 2 を Z {\displaystyle Z} とΔ の2つの交わる部分の長さとして次の式が成立する。 Area ( Z s + r B ) = 1 2 π ( r + R ) 2 + ( l 1 + l 2 ) r + π r 2 {\displaystyle {\text{Area}}(Z_{s}+rB)={\frac {1}{2}}\pi (r+R)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}} この等式にミンコフスキー・シュタイナーの公式 を用いて値を評価する。ただし Z s {\displaystyle Z_{s}} は凸集合ではないため、右辺は極限値とはならない。 Area ( Z s + r B ) = 1 2 π ( r + R ) 2 + ( l 1 + l 2 ) r + π r 2 ≤ Area ( Z s ) + ( π R + l 1 + l 2 + p s ) r + π r 2 {\displaystyle {\text{Area}}(Z_{s}+rB)={\frac {1}{2}}\pi (r+R)^{2}+(l_{1}+l_{2})r+\pi r^{2}\leq {\text{Area}}(Z_{s})+(\pi R+l_{1}+l_{2}+p_{s})r+\pi r^{2}} ここで p s {\displaystyle p_{s}} は、 S {\displaystyle S} 上部の周長。 下部についても同様にした式と、この式を辺々加えて π ( r + R ) 2 + 2 ( l 1 + l 2 ) r + 2 π r 2 ≤ Area ( Z ) + 2 π r R + 2 ( l 1 + l 2 ) r + p r + 2 π r 2 {\displaystyle \pi (r+R)^{2}+2(l_{1}+l_{2})r+2\pi r^{2}\leq {\text{Area}}(Z)+2\pi rR+2(l_{1}+l_{2})r+pr+2\pi r^{2}} π ( r + R ) 2 + ≤ Area ( Z ) + 2 π r R + p r {\displaystyle \pi (r+R)^{2}+\leq {\text{Area}}(Z)+2\pi rR+pr} ここでp は S {\displaystyle S} の周長。また、 Z {\displaystyle Z} の面積は外接円板と S {\displaystyle S} の面積a の差に等しいので、 π ( r + R ) 2 ≤ π R 2 − a + 2 π R r + p r {\displaystyle \pi (r+R)^{2}\leq \pi R^{2}-a+2\pi Rr+pr} ∴ a − p r + π r 2 ≤ 0. {\displaystyle \therefore a-pr+\pi r^{2}\leq 0.}
これは面積 S + t B {\displaystyle S+tB} についての2次多項式 f ( t ) = π t 2 − p t + a {\displaystyle f(t)=\pi t^{2}-pt+a} に、内接円半径 r {\displaystyle r} を代入した値が負になることを意味する[ 7] 。
上記と全く同様の議論で、外接円半径 R {\displaystyle R} についても同様の結論を得る。
a − p R + π R 2 ≤ 0. {\displaystyle a-pR+\pi R^{2}\leq 0.}
この2つの不等式より、さらに次の不等式が成立する。 p − p 2 − 4 π a 2 π ≤ r ≤ R ≤ p + p 2 − 4 π a 2 π . {\displaystyle {\frac {p-{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}\leq r\leq R\leq {\frac {p+{\sqrt {p^{2}-4\pi a}}}{2\pi }}.}
これを変形して、 R − r ≤ p 2 − 4 π a π {\displaystyle R-r\leq {\frac {\sqrt {p^{2}-4\pi a}}{\pi }}} ∴ p 2 − 4 π a ≥ π 2 ( R − r ) 2 . {\displaystyle \therefore p^{2}-4\pi a\geq \pi ^{2}(R-r)^{2}.}
出典 ^ a b 窪田忠彦 『近世幾何学』岩波書店 、1947年、157,5頁。doi:10.11501/1063410。 ^ (英語) Geometric Inequalities . doi:10.1007/978-3-662-07441-1. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-07441-1 ^ Bernard Teissier. “convert”. archive.wikiwix.com . 2024年8月14日 閲覧。 ^ Bonnesen, T. (1921). “Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et de la démonstration d'une inégalité de Minkowski” (French). Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris 172 : 1087–1089. ISSN 0001-4036. https://zbmath.org/?format=complete&q=an:48.0839.01 . ^ Horowitz, Charles; Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2009-10-01). “Loewner’s Torus Inequality with Isosystolic Defect” (英語). Journal of Geometric Analysis 19 (4): 796–808. doi:10.1007/s12220-009-9090-y. ISSN 1559-002X. https://doi.org/10.1007/s12220-009-9090-y . ^ (英語) Vorlesungen Über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie . doi:10.1007/978-3-642-94702-5. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-94702-5 ^ “The Stong Isoperimetric Inequality of Bonnesen”. 2024年8月31日 閲覧。 ^ ここでいう閉曲線の外接円とは閉曲線を内部に含む最小の円(最小包含円(英語版) を)指し、閉曲線の内接円とは閉曲線の内側に含まれる最大の円を指す