組合せ数学におけるベル多項式(ベルたこうしき、英: Bell polynomials)とは、エリック・テンプル・ベルの名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbd1af656b8288b6d61e72f68be99c18cc96282)
![{\displaystyle :=\sum {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{n-k+1}j_{i}!}}\prod _{i=1}^{n-k+1}{\left({\frac {x_{i}}{i!}}\right)^{j_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5035f1901158088116a99c6d8adc8df48d54e994)
ただしこの和は、
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-k+1}j_{i}=k\land \sum _{i=1}^{n-k+1}ij_{i}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfadfdfd4cfae8cddfa1b9c1a428657ef8cc4fc7)
を満たすすべての非負整数の列 j1, j2, j3, …, jn−k+1 について取られている。
完全ベル多項式
次の和
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76991d0ee74bbcc3c1dd06b481c3136c873d28a4)
はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 Bn,k はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。
完全ベル多項式は次の等式を満たす。
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f84efda7779a0a422b1c09c4061f0ca8feb9fb5)
組合せ論的な意味
例
例えば、次が得られる。
![{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f14c4a8c1824a1d39ef2cdda152cb767aa5e9b0)
なぜならば
- 6 の集合を 5 + 1 に分割する方法は 6 通り
- 6 の集合を 4 + 2 に分割する方法は 15 通り
- 6 の集合を 3 + 3 に分割する方法は 10 通り
だからである。同様に
![{\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201279c5db782fa9fe3ca5e10ef39fff66f20c61)
が得られる。なぜならば
- 6 の集合を 4 + 1 + 1 に分割する方法は 15 通り
- 6 の集合を 3 + 2 + 1 に分割する方法は 60 通り
- 6 の集合を 2 + 2 + 2 に分割する方法は 15 通り
だからである。
性質
![{\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909c02d638e6bfdbf1876a385daebddd5b35fb33)
スターリング数
ベル多項式 Bn,k(x1,x2, …) のすべての x が 1 に等しいときの値は、第二種スターリング数である。すなわち
![{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c553a25996032a96350566cf780fc9b48b69106)
である。
畳み込みの等式
数列 xn, yn, n = 1, 2, …, に対し、ある種の畳み込みを次のように定める。
.
ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n− 1 であることに注意されたい。
を次の列の第 n 番目の項とする。
![{\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {factors} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5c765030b8e7f52cd7242375449b12cf815d3f)
このとき、次が成り立つ。
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24df09124d4a1da98e42742190ac82d9e44187b)
例えば、
を計算する。このとき
![{\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7835992b71cb6146d765266b1a535dab038cd59)
![{\displaystyle x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd38f0820c13c434a84e6d847cf100e3b98e65d)
![{\displaystyle x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163f84b229f7fa2bfefbe313fe7138dbad6a4434)
であるため、
![{\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1c0846ac67c53e774d3098fa9e44d1573f8950)
となる。
ベル多項式の応用
ファー・ディ・ブルーノの公式
詳細は「ファー・ディ・ブルーノの公式」を参照
ベル多項式を用いることで、ファー・ディ・ブルーノの公式(英語版)は次のように書き表すことができる。
![{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddbbc854676bf6967d276175c0c3662ca74a530)
同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad \mathrm {and} \qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a3bdb2c12039b1b430e4e28f67beb9e218c6d6)
とすれば、
![{\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3759b79d01b0b5879b6abfd2b35bea08c7279a43)
となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数の指数関数の中に、次のように現れる。
![{\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e830d3a042d29de412ab3bf78aa73a0c77ebe4)
モーメントとキュムラント
次の和
![{\displaystyle B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eff29a8a62a91d2b11b8b78a590f860c5887d5c)
は、初めの n 個のキュムラントが κ1, …, κn であるような確率分布の n 次モーメントである。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。
二項型の多項式列による表現
任意のスカラー列 a1, a2, a3, … に対し、次を定める。
![{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd450b6fc2f6d699fa6f79c9ae1de25bc1bbe522)
このとき、この多項式列は二項型多項式列である。すなわち、二項等式
![{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b5052c2fa895d69387ad1fffc41150ea18ab7a)
が n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。
- 定理 すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。
今
![{\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad67991b2ae95178eacf60cc909d5f272b175162)
とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し
![{\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0840d65b30b16f435b8a9071d52f393a665a50)
が成り立つ。
ソフトウェア
- ベル多項式、完全ベル多項式および一般化ベル多項式は、Mathematicaにおいては BellY[1] で、Maple においては BellB[2] で、Sage においては bell_polynomial[3] で計算することができる。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ BellY
- ^ BellB
- ^ bell_polynomial
関連項目
参考文献
- Eric Temple Bell (1927–1928). “Partition Polynomials”. Annals of Mathematics 29 (1/4): 38-46. doi:10.2307/1967979. JSTOR 1967979. MR1502817.
- Louis Comtet (1974). Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company
- Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications
- Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin (1994). “On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications”. Kybernetika 30 (3): 343-358. ISSN 00235954.
- en:George Andrews (mathematician) (1998). The Theory of Partitions. Cambridge Mathematical Library (1st pbk ed.). Cambridge University Press. pp. 204-211. ISBN 0-521-63766-X
- Silvia Noschese, Paolo E. Ricci (2003). “Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials”. Journal of Computational Analysis and Applications 5 (3): 333-340. doi:10.1023/A:1023227705558.
- Abbas, Moncef; Bouroubi, Sadek (2005). “On new identities for Bell's polynomial”. Disc. Math (293): 5-10. doi:10.1016/j.disc.2004.08.023. MR2136048.
- Khristo N. Boyadzhiev (2009). “Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals”. Abstract and Applied Analysis 2009: Article ID 168672. doi:10.1155/2009/168672. (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
- V. V. Kruchinin (2011). "Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind". arXiv:1104.5065。
- Griffiths, Martin (2012). “Families of sequences from a class of multinomial sums”. Journal of Integer Sequences 15. MR2872465. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Griffiths/griffiths20.html.
Faà di Bruno の公式(ファー・ディ・ブルーノの公式)については、たとえば
- 山中健:「合成関数の高階微分の公式について」 (PDF)
- 岡野節, 奥戸雄二, 清水昭信, 新倉保夫, 橋本佳明, 山田浩「Faa di Brunoの公式とその応用(1)」『Annual review』第5巻、名古屋市立大学、2001年3月、35-44頁、CRID 1050001337543424256、ISSN 1342-9329。