ベクトル解析の公式の一覧(ベクトルかいせきのこうしきのいちらん)では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。
内積と外積
ここで , , は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る(アインシュタインの縮約記法)。 はレヴィ=チヴィタ記号、 は , がなす角である。
内積[1]
外積[1]
スカラー三重積[2][3]
ベクトル三重積[4][3]
ヤコビ恒等式[3]
四重積[3]
微分公式
ここで , は任意のベクトル場, は任意のスカラー場である。[3]
ヘルムホルツ分解[3]
積分公式
ここで , , は任意のベクトル場, , は任意のスカラー場である。また, は空間領域, はその境界, は面, はその法線ベクトル ( の場合 は外向きに取る), は面要素ベクトルである。閉曲線 に関する線積分 は法線 に対応する向きとする。
ガウスの発散定理および関連する公式[3](最後の等式はグリーンの定理である)
ストークスの定理および関連する公式[3]
曲線座標
曲線座標における勾配、発散、回転、ラプラシアン、物質微分の公式。
円柱座標
円柱座標 と直交座標 の変換[5]
単位基底ベクトル[5]
計量[6]
体積要素[6]
勾配[6]
発散[6]
回転[6]
ラプラシアン (スカラー場)[6]
ラプラシアン (ベクトル場)[6]
物質微分[7]
球座標
球座標 と直交座標 の変換[5]
単位基底ベクトル[5]
計量[8]
体積要素[8]
勾配[8]
発散[8]
回転[8]
ラプラシアン (スカラー場)[8]
ラプラシアン (ベクトル場)[9]
物質微分[7]
直交曲線座標
3次元ユークリッド空間 の曲線座標 について、その座標系で計量が
という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ[10]。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを とする。
体積要素[11]
勾配[11]
発散[11]
回転[11]
ラプラシアン (スカラー場)[11]
物質微分[7]
脚注
[脚注の使い方]
- ^ a b “ベクトル・テンソル解析”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ Richard Fitzpatrick. “Scalar Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ a b c d e f g h “電磁気学に用いるベクトル公式集”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ Richard Fitzpatrick. “Vector Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ a b c d “座標系・ベクトルの復習”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ a b c d e f g Richard Fitzpatrick. “Cylindrical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ a b c “Convective Operator”. Wolfram MathWorld. 2021年4月21日閲覧。
- ^ a b c d e f Richard Fitzpatrick. “Spherical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ “Vector differential operators”. p. 252. 2021年4月21日閲覧。
- ^ 河合佑太. “物理数学補足ノート(直交曲線座標)”. 2020年11月27日閲覧。
- ^ a b c d e Richard Fitzpatrick. “Orthogonal Curvilinear Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。