カオス挙動を示す強制ダフィング方程式のポアンカレ切断面 数学 におけるダフィング方程式 (ダフィングほうていしき、英 : Duffing equation )あるいはダフィング振動子 (Duffing oscillator)は、ある減衰的 な駆動振動子 をモデル化するために用いられる非線型 の二階常微分方程式 である。次の式で与えられる:
x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 = γ cos ( ω t ) . {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).\,} ここで(未知)函数 x = x (t ) は時間 t での位置、 x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} は x の時間に関する一階導函数 、すなわち速度 で、 x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} は x の時間に関する二階導函数、すなわち加速度 である。数 δ , α , β , γ {\displaystyle \delta ,\alpha ,\beta ,\gamma } および ω {\displaystyle \omega } は与えられた定数である。
この式は、( β = δ = 0 {\displaystyle \beta =\delta =0} の場合に対応する)単振動 よりも複雑なポテンシャル を持つ減衰振動子の動きを表す。例えば、物理学の言葉で言うと、ばねの剛性 がフックの法則 に従わないばね振り子(英語版) のモデルと見なされる。
ダフィング方程式は、カオス的挙動 を示す力学系の一例である。ジャパニーズ・アトラクタ がダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。さらにダフィングシステムは、周波数ヒステリシスの挙動のような、跳躍共振現象を周波数反応において示すものである。
パラメータ δ {\displaystyle \delta } は減衰 の大きさを制御する。 α {\displaystyle \alpha } は剛性 の大きさを制御する。 β {\displaystyle \beta } は復元力に含まれる非線型性の量を制御する。 β = 0 {\displaystyle \beta =0} であるなら、ダフィング方程式は減衰かつ駆動(driven)な単振動子を表す。 γ {\displaystyle \gamma } は周期駆動力の振幅 を制御する。 γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} であるなら、駆動力の無いシステムとなる。 ω {\displaystyle \omega } は周期駆動力の周波数 を制御する。
解の方法 γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} に対するダフィング振動子のリミットサイクル γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} に対するダフィング振動子のリミットサイクルの相プロット γ < 0 {\displaystyle \gamma <0} に対するダフィング振動子のカオス振動 γ < 0 {\displaystyle \gamma <0} に対するダフィング振動子のアトラクターのアニメーション 一般に、ダフィング方程式の厳密な記号解が得られるとは限らない。しかし、以下のような多くの近似手法が利用できる:
フーリエ級数 展開は、任意の正確さでの方程式の運動を与える。 ダフィング項と呼ばれる x 3 {\displaystyle x^{3}} の項は、小さいものとして近似でき、システムは摂動 された単振動子として扱われる。 フロベニウス法(英語版) を利用すれば、複雑だが実行可能な解を得ることができる。 オイラー法 やルンゲ=クッタ法 のような様々な数値的手法 が利用できる。 非減衰( δ = 0 {\displaystyle \delta =0} )かつ非駆動( γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} )なダフィング方程式の特別な場合においては、ヤコビ楕円函数(英語版) を利用することで厳密解を得ることができる。
非減衰かつ非強制振動子の解の有界性 非減衰かつ非強制( γ = δ = 0 {\displaystyle \gamma =\delta =0} )なダフィング方程式に x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} を掛けると、次の式が得られる[ 1] :
x ˙ ( x ¨ + α x + β x 3 ) = 0 ⇒ d d t [ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 ] = 0 ⇒ 1 2 ( x ˙ ) 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 = H . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H.\end{aligned}}} ここで H は定数である。H の値は初期条件 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} および x ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)} によって決まる。
H に y = x ˙ {\displaystyle y={\dot {x}}} を代入することで、システムはハミルトニアン(英語版) であることが分かる:
x ˙ = + ∂ H ∂ y , {\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},} y ˙ = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}} with H = 1 2 y 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 . {\displaystyle \quad H={\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}.} α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } のいずれも正であるなら、解は有界 である[ 1] :
| x | ≤ 2 H α {\displaystyle |x|\leq {\sqrt {\frac {2H}{\alpha }}}} and | x ˙ | ≤ 2 H , {\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},} ここでハミルトニアン H は正である。
参考文献
文中
その他 Bender, C.M.; Orszag, S.A. (1999), Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory , Springer, pp. 545–551, ISBN 9780387989310 Addison, P.S. (1997), Fractals and Chaos: An illustrated course , CRC Press, pp. 147–148, ISBN 9780849384431
外部リンク Duffing oscillator (英語) - スカラーペディア 百科事典「ダフィング方程式」の項目。 Weisstein, Eric W. "Duffing Differential Equation". mathworld.wolfram.com (英語).