シュタイナー楕円

幾何学における三角形のシュタイナー楕円（シュタイナーだえん）は、三角形の3頂点を通り重心を中心とする楕円である^[1]。名前はヤコブ・シュタイナーに由来する。シュタイナーの内接楕円との比較から、シュタイナーの外接楕円と呼ばれることもある。

シュタイナー楕円の面積は元の三角形の${\displaystyle {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},}$倍であり、シュタイナーの内接楕円の4倍である。三角形に外接する楕円（外接円を含む）のうち、最も面積が小さい^[1]。

以下の解説で特に説明がない場合、 a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。

シュタイナー楕円の三線座標による表記は、以下の式で表される^[1]。

${\displaystyle bcyz+cazx+abxy=0}$

重心座標の場合は以下の式になる。

${\displaystyle yz+zx+xy=0}$

長軸と短軸の長さは以下の式で表される^[1]。

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

焦点間の長さは以下になる。

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}}$

ただし、Ｚ は以下の式で表される値である。

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

2つの焦点は Bickart points と呼ばれ、クラーク・キンバリングのBICENTRIC PAIRS OF POINTSではP(116),U(116)として登録されている^[2]。その重心座標は以下の式で表される。

${\displaystyle V=2a^{3}b^{2}c^{2}Z^{3},W=b^{6}c^{6}+c^{6}a^{6}+a^{6}b^{6}-3a^{4}b^{4}c^{4}-(b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}+a^{4}b^{4})Z^{2}}$

${\displaystyle f(a,b,c)=2(b^{2}-c^{2})(a^{4}-b^{2}c^{2}-a^{2}Z)+{\sqrt {V-W}}}$

として、

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\quad \quad f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)}$

• 外接円とは4点で交わる。このうち3点は頂点である。残りの1点はシュタイナー点である。
• 外接円錐曲線の一つである。