Teorema delle restrizioni

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In analisi matematica, ci sono due teoremi collegati che prendono il nome di teorema delle restrizioni. Qui sono enunciate le versioni in una variabile, ma la generalizzazione a più dimensioni è immediata.

Sia ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{0}}$ punto di accumulazione per ${\displaystyle A}$. Il primo teorema delle restrizioni afferma che se ${\displaystyle f}$ ammette limite ${\displaystyle l}$ in ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l}$

allora per ogni sottoinsieme ${\displaystyle B\subseteq A}$ tale che ${\displaystyle x_{0}}$ sia punto di accumulazione anche per ${\displaystyle B}$ è:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f_{|B}(x)=l}$

È molto utile sfruttare la negazione di questo teorema: infatti se si riesce ad individuare una restrizione di ${\displaystyle f}$ che non possegga limite, o a trovarne due distinte per cui sia ${\displaystyle l_{1}\neq l_{2}}$, dal teorema deve dedursi che ${\displaystyle f}$ stessa non possiede limite. Ad esempio, la successione ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ non possiede limite poiché ${\displaystyle a_{2n}}$ (cioè la sua restrizione sui pari) è costante a ${\displaystyle 1}$, mentre
${\displaystyle a_{2n+1}}$ (sui dispari) è costante a ${\displaystyle -1}$.

Sia ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{0}}$ punto di accumulazione per ${\displaystyle A}$ e siano ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq A}$ tali che:

${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}=A}$

ovvero ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ è un ricoprimento di ${\displaystyle A}$. Sia inoltre ${\displaystyle x_{0}}$ punto di accumulazione per entrambi. Il secondo teorema delle restrizioni afferma che se:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f_{|B_{1}}(x)=\lim _{x\to x_{0}}f_{|B_{2}}(x)=l}$

allora ${\displaystyle f}$ possiede limite in ${\displaystyle x_{0}}$ e tale limite è necessariamente ${\displaystyle l}$.

• Limite di una funzione
• Restrizione di una funzione

• Anna Martellotti - Teorema delle restrizioni (PDF), su dmi.unipg.it. URL consultato il 9 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 14 luglio 2014).

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