Regolatore lineare quadratico

Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo J ( x , u ) {\displaystyle J(x,u)} funzione dello stato x ( t ) {\displaystyle x(t)} e del controllo u ( t ) {\displaystyle u(t)} .

min J = 1 2 x f T S f x f + 1 2 ∫ t 0 t f ( x T Q x + u T R u ) d τ {\displaystyle \min J={\frac {1}{2}}x_{f}^{T}S_{f}x_{f}+{\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\,d\tau } ,

con S f {\displaystyle S_{f}} e Q {\displaystyle Q} matrici simmetriche e semi definite positive e R {\displaystyle R} simmetrica e definita positiva.

Validità ipotesi iniziali

Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:

x T K x = 2 1 2 x T K x + 1 2 x T K T x − 1 2 x T K T x = 1 2 x T ( K + K T ) x + 1 2 x T ( K − K T ) x = 1 2 x T ( K + K T ) x {\displaystyle x^{T}Kx=2{\frac {1}{2}}x^{T}Kx+{\frac {1}{2}}x^{T}K^{T}x-{\frac {1}{2}}x^{T}K^{T}x={\frac {1}{2}}x^{T}(K+K^{T})x+{\frac {1}{2}}x^{T}(K-K^{T})x={\frac {1}{2}}x^{T}(K+K^{T})x}

La matrice K + K T {\displaystyle K+K^{T}} è simmetrica mentre K − K T {\displaystyle K-K^{T}} risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.

La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per u {\displaystyle u} infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo u o t t ( t ) {\displaystyle u_{ott}(t)} sia unico.

Teorema: esistenza soluzione

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione u o t t ( t ) {\displaystyle u_{\mathrm {ott} }(t)} del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo J ( x , u ) {\displaystyle J(x,u)} .

Teorema: esistenza soluzione stabilizzante

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.

Il controllo ottenuto u o t t ( t ) {\displaystyle u_{\mathrm {ott} }(t)} è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

Tempo finito
  • controllo
u o t t ( t ) = − K o t t ( t ) x ( t ) {\displaystyle u_{ott}(t)=-K_{\mathrm {ott} }(t)x(t)}
  • controllore in retroazione dallo stato
K o t t ( t ) = R − 1 B T P ( t ) {\displaystyle K_{\mathrm {ott} }(t)=R^{-1}B^{T}P(t)}
  • DRE la cui soluzione fornisce P(t)
− d P ( t ) d t = A T P ( t ) + P ( t ) A + Q − P ( t ) B R − 1 B T P ( t ) {\displaystyle -{\frac {dP(t)}{dt}}=A^{T}P(t)+P(t)A+Q-P(t)BR^{-1}B^{T}P(t)}
Tempo infinito
  • controllo
u o t t ( t ) = − K o t t x ( t ) {\displaystyle u_{\mathrm {ott} }(t)=-K_{\mathrm {ott} }x(t)}
  • controllore in retroazione dallo stato
K o t t = R − 1 B T P {\displaystyle K_{\mathrm {ott} }=R^{-1}B^{T}P}
  • ARE la cui soluzione fornisce P
[ 0 ] = A T P + P A + Q − P B R − 1 B T P {\displaystyle [0]=A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B^{T}P}

Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito ( t f {\displaystyle t_{f}} →∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce J ( x , u ) {\displaystyle J(x,u)} . L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice K o t t {\displaystyle K_{\mathrm {ott} }} costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

Teorema: robustezza intrinseca

Controllo automatico

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂ P 0 {\displaystyle P_{0}} relative al processo nominale P 0 {\displaystyle P_{0}} con upperbound costante in frequenza e pari a l m = 0.5 {\displaystyle l_{m}=0.5} . In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita U 0 {\displaystyle U_{0}} prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).

Bibliografia

  • Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993.
  • Marro G., Controlli automatici - 5ª edizione, Zanichelli, 2004
  • K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
  • P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

Voci correlate

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