In fisica, la rappresentazione di Heisenberg è una formulazione della meccanica quantistica in cui gli operatori (osservabili e altri) sono dipendenti dal tempo, mentre gli stati quantici ne sono indipendenti. Questa formulazione contrasta con la rappresentazione di Schrödinger nella quale gli operatori sono costanti e gli stati evolvono nel tempo. I due modelli differiscono solo per un cambio di base rispetto alla dipendenza temporale. La rappresentazione di Heisenberg è la formulazione della meccanica delle matrici in una base arbitraria, nella quale l'operatore hamiltoniano non è necessariamente diagonale.
Indice
1Dettagli matematici
2Derivazione dell'equazione di Heisenberg
3Relazioni dei commutatori
4Bibliografia
5Voci correlate
6Collegamenti esterni
Dettagli matematici
Nella rappresentazione di Heisenberg della meccanica quantistica lo stato quantico non cambia con il tempo, mentre un'osservabile A è tale da soddisfare
dove H è un operatore hamiltoniano e [·,·] è un commutatore di H e AH. In qualche senso, la rappresentazione di Heisenberg è più naturale e fondamentale di quella di Schrödinger, specialmente per quanto riguarda le teorie relativistiche.
Quest'approccio ha una similarità nella fisica classica: sostituendo il commutatore della formula con le parentesi di Poisson, l'equazione di Heisenberg diviene una formulazione generale dell'equazione Hamiltoniana.
Per il teorema di Stone-von Neumann, la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schrödinger sono unitariamente equivalenti.
Derivazione dell'equazione di Heisenberg
Il valore atteso di un osservabile A (che è un operatore lineare hermitiano) per uno stato è dato da:
Si noti che è la derivata parziale rispetto al tempo di A e non di A(t).
L'ultimo passaggio è valido in quanto commuta con H. Da questa relazione si ha l'equazione di Heisenberg:
,
dove [X, Y] è il commutatore dei due operatori ed è definito come [X, Y] := XY − YX.
Relazioni dei commutatori
Naturalmente, le relazioni che esplicitano i commutatori sono differenti dalla rappresentazione di Schrödinger a causa della dipendenza del tempo degli operatori. Ad esempio, si considerino gli operatori e . L'evoluzione temporale di questi operatori dipende dall'operatore hamiltoniano del sistema. Per l'oscillatore armonico monodimensionale si ha:
L'evoluzione degli operatori di posizione e momento è data da:
Risolvendo rispetto alle seguenti condizioni iniziali:
si ha:
Ora si possono esplicitare i commutatori:
Per , si ottengono le relazioni di commutazione canoniche .
Bibliografia
Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics (Volume One), Paris, Wiley, 1977, pp. 312–314, ISBN 0-471-16433-X.
Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Cliccare sul link per il capitolo 2 per trovare un'estensiva e semplificata introduzione alla rappresentazione di Heisenberg.