In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento inerziale.
Definizione
Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. La sua norma, invariante per trasformazioni di Lorentz, è solitamente posta uguale alla velocità della luce
(esso ha quindi solo direzione variabile).
Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:[1]
![{\displaystyle v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c55f4b4185ddabd1ee1b3a52af3daf874ecae4)
dove
è il fattore di Lorentz:
![{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490ada441d66dd740943915cba25076d4565a9d3)
con
la norma euclidea della velocità classica
.
Derivazione
In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate
, con
, espresse in funzione del tempo
:
![{\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{i}(t)\right)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93c966da6ee64453eca28e30a320267a3c33a45)
dove
è l'i-esima componente della posizione al tempo
. Le componenti della velocità
nel punto
tangente alla traiettoria sono:
![{\displaystyle {\mathbf {v} }={\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}=\left({\mathrm {d} x_{i} \over \mathrm {d} t}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b86964e5efb9a36fcf9051e0dbbbbb7a687d645)
dove le derivate sono valutate in
.
Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono
, con
, in cui
è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio
:
![{\displaystyle x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x_{0}(\tau )\\x_{1}(\tau )\\x_{2}(\tau )\\x_{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d64b482603cd89c80e62ef93260a3de601b241)
Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:
![{\displaystyle t=\gamma \tau \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7db9e0b74115ce964da4b554fb1a9ce16240b9b)
la quadrivelocità relativa a
è definita come:
![{\displaystyle v^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77252c6ecb4e8afd9422a57a7356026d0febb9e)
Componenti
La relazione tra
e
è data da
![{\displaystyle x_{0}=ct=c\gamma \tau \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9949f3dc7316bf7324509caedecfb2a55e032707)
Effettuando la derivata rispetto al tempo proprio
si ottiene la componente
per
:
![{\displaystyle v_{0}={\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bda8649a6641052b31f251145c741b1ed0cc01)
Utilizzando la regola della catena, per
si ha:
![{\displaystyle v_{i}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}{\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea543067ec7bdb132fd566775ff30d88856253b4)
dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:
![{\displaystyle v_{i}={dx_{i} \over dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8d18d885be5eb0546035203f7a30bd4c3215b0)
La quadrivelocità è pertanto:
![{\displaystyle v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c55f4b4185ddabd1ee1b3a52af3daf874ecae4)
Norma
Per calcolare la norma che è costante, prendiamo il seguente caso: sistema a riposo
e
, pertanto
e la direzione del vettore è l'asse temporale.
Si ha:
![{\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260f1b9f86f469a1cfb990e22c914af262775a6c)
se la segnatura della metrica di Minkowski è
:
![{\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37dd0cf36f1e978b414706a3de6f03c022dfbd25)
e inoltre:
![{\displaystyle \|v^{\mu }\|={\sqrt {|v_{\mu }v^{\mu }|}}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65b4fd6c8858f90d4d40e1ec950a591744d48ad)
La norma della quadrivelocità è dunque pari alla velocità della luce. La norma della trivelocità
non è ovviamente un invariante (tranne il caso in cui
). Differenziando, nella trivelocità
, una componente di trascinamento,
, e una componente riferita al sistema in moto,
, si può calcolare la diminuzione di
quando essa è misurata nel sistema in quiete.
Note
Bibliografia
- Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
- Vol I, par. 13.1: I quadrivettori, p.25-4
- (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
Voci correlate
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