Permanente (matematica)

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In matematica, il permanente di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ di ordine ${\displaystyle n}$, di elementi ${\displaystyle a_{ij}}$ è definito come

${\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma _{i}},}$

dove ${\displaystyle \sigma _{i}}$ rappresenta una permutazione, ovvero un elemento del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{n}}$. La definizione ricorda quella molto simile di determinante: ci sono gli stessi addendi, ma con l'unica differenza che nel determinante sono alcuni col segno più e altri col segno meno, nel permanente sono tutti col segno più. Di fatto, come quest'ultimo, il permanente è un caso particolare di immanente, una più generale operazione su matrici di ordine ${\displaystyle n}$.

Al contrario del determinante, il permanente non ha una semplice interpretazione geometrica. Esso è usato principalmente in combinatoria e nello studio dei bosoni.

Considerando il permanente come una funzione i cui argomenti sono ${\displaystyle n}$ vettori, esso è una applicazione multilineare ed è simmetrica.

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n}$ si ha:

• ${\displaystyle \operatorname {perm} (A)}$ è invariante rispetto a permutazioni arbitrarie di righe o colonne di ${\displaystyle A}$;
• moltiplicando una riga o una colonna di ${\displaystyle A}$ per uno scalare ${\displaystyle \lambda }$ anche il permanente viene moltiplicato per ${\displaystyle \lambda }$;
• ${\displaystyle \operatorname {perm} (A)}$ è invariante rispetto alla trasposizione, cioè ${\displaystyle \operatorname {perm} (A^{T})=\operatorname {perm} (A)}$.

Se ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ e ${\displaystyle B=(b_{ij})}$ sono matrici quadrate di ordine ${\displaystyle n}$, allora

${\displaystyle \operatorname {perm} (A+B)=\sum _{I,J}\operatorname {perm} (a_{ij})_{i\in I,j\in J}\operatorname {perm} (b_{ij})_{i\in {\bar {I}},j\in {\bar {J}}},}$

dove ${\displaystyle I}$ e ${\displaystyle J}$ sono sottoinsiemi di ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ che hanno la stessa cardinalità e ${\displaystyle {\bar {I}}}$ e ${\displaystyle {\bar {J}}}$ sono i rispettivi complementari in tale insieme.

D'altra parte la proprietà moltiplicativa del determinante non è soddisfatta dal permanente. Ad esempio:

${\displaystyle 4=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\neq \operatorname {perm} \left(\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\right)=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}2&2\\2&2\end{matrix}}\right)=8.}$

Per il calcolo del permanente è valida una formula simile allo sviluppo di Laplace del determinante, in cui tutti i segni dei minori sono positivi. Per esempio, sviluppando lungo la prima colonna la seguente matrice si ha

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+2\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+\ 3\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)=\\&=1(1)+2(1)+3(1)+4(1)=10,\end{aligned}}}$

mentre sviluppando rispetto all'ultima riga si ha

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)+0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&0&0\\3&1&0\end{matrix}}\right)+\ 0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&0\end{matrix}}\right)+1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&1\end{matrix}}\right)=\\&=4(1)+0+0+1(6)=10.\end{aligned}}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Seconda quantizzazione.

In meccanica quantistica, in sistemi a molti bosoni, il permanente può essere utilizzato per determinare uno stato completamente simmetrico che descriva una particolare configurazione del sistema, in modo del tutto analogo al determinante di Slater per i sistemi a molti fermioni.

• Determinante (algebra)
• Funzione simmetrica

• (EN) Eric W. Weisstein, Permanente, su MathWorld, Wolfram Research.

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