Parentesi di Jacobi

In matematica, una parentesi di Jacobi (da Carl Gustav Jakob Jacobi) di due funzioni ${\displaystyle f(x,y,q)}$ e ${\displaystyle g(x,y,q)}$ di ${\displaystyle 2n+1}$ variabili indipendenti ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})}$, è l'espressione differenziale:

${\displaystyle [f,g]=\sum _{k=1}^{n}\left[{\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}\left({\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}+q_{k}{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)-{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}+q_{k}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\right]}$

Essa soddisfa le proprietà:

${\displaystyle [f,g]=-[g,f]}$

${\displaystyle [f,gh]=g[f,h]+h[f,g]}$

e l'Identità di Jacobi.

Un caso particolare di questa relazione, quello in cui ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ non dipendono da ${\displaystyle y}$, è la parentesi di Poisson:

${\displaystyle [f,g]=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}\right)}$

• (EN) V.I. Arnol'd, Mathematical methods of classical mechanics , Springer (1978)

• Identità di Jacobi
• Parentesi di Dirac
• Parentesi di Poisson

• (EN) Parentesi di Jacobi, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

Portale Matematica

Portale Meccanica