Operatore di Frobenius-Perron

In matematica, l'operatore di Frobenius-Perron codifica informazioni riguardo una funzione iterata ed è spesso utilizzato per studiare il comportamento di sistemi dinamici, meccanica statistica, caos quantistico e frattali. L'operatore di Frobenius-Perron è anche chiamato operatore transfer o operatore di Ruelle.

Si consideri una trasformazione misurabile ${\displaystyle S\colon X\to S}$, con ${\displaystyle (X,\Sigma ,m)}$ uno spazio con misura ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$-finita. Sia ${\displaystyle \mu }$ una misura di probabilità su ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ e si osservi l'evoluzione di tale misura sotto l'azione del sistema. Se la misura ${\displaystyle \mu }$ descrive la distribuzione dei punti nello spazio delle fasi ${\displaystyle X}$, la misura ${\displaystyle \nu }$ tale che ${\displaystyle \nu (B)=\mu (S^{-1}(B))}$ descriverà la distribuzione dei punti dopo l'azione della trasformazione ${\displaystyle S}$. Sia ${\displaystyle \mu }$ assolutamente continua rispetto ad ${\displaystyle m}$ con densità ${\displaystyle f}$. Se anche ${\displaystyle \nu }$ è assolutamente continua rispetto ad ${\displaystyle m}$, con ${\displaystyle g={\frac {d\nu }{dm}}}$, possiamo definire l'operatore ${\displaystyle P_{S}}$ su ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ data da

${\displaystyle P(x,B)={\begin{cases}1,&S(x)\in B,\\0,&S(x)\notin B.\\\end{cases}}}$

Per trasformazioni non singolari, l'operatore ${\displaystyle P_{S}}$ è correttamente definito. La condizione di non singolarità prenderà in tal caso la forma

${\displaystyle m(B)=0\implies m(S^{-1}(B))=0,\;\;B\in \Sigma .}$

Tale operatore può essere esteso ad un operatore lineare limitato ${\displaystyle P_{S}\colon L^{1}\to L^{1}}$, con ${\displaystyle P_{S}}$ operatore stocastico detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione ${\displaystyle S}$.

Sia ${\displaystyle (X,\Sigma ,m)}$ uno spazio di misura ${\displaystyle \sigma }$-finito e sia ${\displaystyle S}$ una trasformazione non singolare di ${\displaystyle X}$. Un operatore ${\displaystyle P_{S}\colon L^{1}\to L^{1}}$ che soddisfa la condizione

${\displaystyle \int _{B}P_{S}f(x)m(dx)=\int _{S^{-1}(B)}f(x)m(dx),\;\;B\in \Sigma ,\;\;f\in L^{1}}$

è detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione ${\displaystyle S}$. L'aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron ${\displaystyle P_{S}^{*}\colon L^{\infty }\to L^{\infty }}$, detto operatore di Koopman, è dato da ${\displaystyle P_{S}^{*}g(x)=g(S(x))}$.

In particolare, se ${\displaystyle S\colon X\to S}$ è biettiva e non singolare rispetto a ${\displaystyle m}$, allora

${\displaystyle P_{S}f(x)=1_{S(X)}(x)f(S^{-1}(x)){\frac {d(m\circ S^{-1})}{dm}}(x)}$

per quasi ogni ${\displaystyle x\in X}$.

L'operatore di Frobenius-Perron è un particolare tipo di operatore di Markov perciò ogni proprietà dimostrata per gli operatori di Markov può essere trasferita all'operatore di Frobenius-Perron. In particolare:

• ${\displaystyle P}$ è un operatore lineare;
• ${\displaystyle Pf\geq 0}$ se ${\displaystyle f\geq 0}$;
• ${\displaystyle \int _{X}Pf(x)\mu (dx)=\int _{X}f(x)\mu (dx)}$;
• l'operatore di Frobenius-Perron della composizione di trasformazioni è la composizione degli operatori di Frobenius-Perron delle trasformazioni.

Dal teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari discende immediatamente che per ogni ${\displaystyle f\in L^{1}}$, ${\displaystyle Pf(x)=f(S^{-1}(x))J^{-1}(x).}$

Sia ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ con interno non vuoto e frontiera con misura di Lebesgue nulla. Sia ${\displaystyle S\colon X\to X}$ una trasformazione misurabile. Assumiamo che esista una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}$, con le seguenti proprietà:

• gli insiemi ${\displaystyle X_{0}=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}}$ e ${\displaystyle S(X_{0})}$ hanno misura di Lebesgue nulla;
• le funzioni ${\displaystyle S_{i}=S|_{U_{i}}}$ sono diffeomorfismi da ${\displaystyle U_{i}}$ in ${\displaystyle S(U_{i})}$.

Allora anche le trasformazioni ${\displaystyle \psi _{i}=S_{i}^{-1}}$ sono diffeomorfismi da ${\displaystyle S(U_{i})}$ in ${\displaystyle U_{i}}$, l'operatore di Frobenius-Perron esiste ed è dato dalla formula

${\displaystyle P_{S}f(x)=\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|,}$

dove ${\displaystyle I_{x}=\{i:\psi _{i}(x)\in U_{i}\}}$. Difatti:

${\displaystyle \int _{S^{-1}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{\psi _{i}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}Pf(x)dx.}$

Supponiamo che ${\displaystyle X}$ sia un intervallo, ${\displaystyle X=[a,b]\in \mathbb {R} }$ e sia ${\displaystyle A=[a,x]}$. Allora

${\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}([a,x])}f(s)ds.}$

Se ${\displaystyle S}$ è differenziabile e invertibile allora ${\displaystyle S}$ è monotona. Sia quindi ${\displaystyle S}$ monotona crescente ed ${\displaystyle S^{-1}}$ con derivata continua. Allora ${\displaystyle S^{-1}([a,x])=[S^{-1}(a),S^{-1}(x)]}$ e quindi

${\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}(a)}^{S^{-1}(x)}f(s)ds=d(S^{-1}(x)){\frac {d}{dx}}\left[S^{-1}(x)\right].}$

Sia ${\displaystyle S(x)=\alpha x(1-x)}$ una mappa logistica, con ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$, con ${\displaystyle \alpha =4}$. Si trova facilmente la forma analitica della retroimmagine di un intervallo ${\displaystyle [0,x]\subset [0,1]}$:

${\displaystyle S^{-1}([0,x])=[0,{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}]\cup [{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}},1].}$

L'equazione diventa quindi

${\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\left(\int _{0}^{1/2-1/2{\sqrt {1-x}}}f(u)du+\int _{1/2+1/2{\sqrt {1-x}}}^{1}f(u)du\right),}$

ossia

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{4{\sqrt {1-x}}}}\left[f({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})+f({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})\right].}$

Il calcolo dell'operatore di Frobenius-Perron corrispondente alla trasformazione quadratica mostra quindi come ${\displaystyle S}$ trasforma la densità ${\displaystyle f}$ in una nuova densità ${\displaystyle Pf}$. Prendendo ad esempio ${\displaystyle f(x)\equiv 1}$ per ${\displaystyle x\in [0,1]}$, otteniamo

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{2{\sqrt {1-x}}}},}$

${\displaystyle P^{2}f(x)={\frac {\sqrt {2}}{8{\sqrt {1-x}}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {1-x}}}}}\right),}$

${\displaystyle \qquad \vdots }$

${\displaystyle f_{*}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}},}$

con ${\displaystyle f_{*}(x)}$ densità limite di ${\displaystyle P^{n}f}$ quando ${\displaystyle n\to \infty }$.

Si consideri un insieme finito di funzioni non singolari differenti, ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}}$ su uno spazio di misura ${\displaystyle \sigma }$-finito ${\displaystyle (X,\Sigma ,m)}$. Siano ${\displaystyle p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)}$ funzioni misurabili non negative definite su ${\displaystyle X}$ tali che ${\displaystyle p_{1}(x)+\cdots +p_{k}(x)=1}$ per ogni ${\displaystyle x\in X}$. Si prenda un punto ${\displaystyle x}$. Si sceglierà la trasformazione ${\displaystyle S_{j}}$ con probabilità ${\displaystyle p_{j}(x)}$ e la posizione di ${\displaystyle x}$ dopo l'azione del sistema sarà ${\displaystyle S_{j}(x)}$. Si consideri dunque la probabilità di transizione ${\displaystyle P(x,B)=\sum _{j=1}^{k}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)}$ per ogni ${\displaystyle x\in X}$ e insieme misurabile ${\displaystyle B}$. Per ogni misura ${\displaystyle \mu }$ si avrà:

${\displaystyle P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{X}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)\mu (dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)\mu (dx)}$

e, se ${\displaystyle \mu }$ è assolutamente continua, ${\displaystyle f={\frac {d\mu }{dm}}}$, si avrà

${\displaystyle P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)f(x)m(dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{B}P_{S_{j}}(p_{j}f)(x)m(dx),}$

con ${\displaystyle P_{S_{1}},\dots ,P_{S_{k}}}$ operatori di Frobenius-Perron associati. L'operatore stocastico corrispondente a ${\displaystyle P}$ sarà della forma ${\displaystyle Pf=\sum _{j=1}^{k}P_{S_{j}}(p_{j}f),\;\;f\in L^{1}}$.

Sia ${\displaystyle S_{y}\colon X\to X}$, ${\displaystyle y\in Y}$, una famiglia di trasformazioni misurabili, dove ${\displaystyle Y}$ è uno spazio metrico dotato di misura di Borel ${\displaystyle \nu }$, e sia ${\displaystyle p_{y}\colon X\to [0,+\infty )}$ una famiglia di funzioni misurabili tali che ${\displaystyle \int _{Y}p_{y}(x)\nu (dy)=1,\;\;x\in X,}$ con probabilità di transizione ${\displaystyle P}$ della forma ${\displaystyle P(x,B)=\int _{Y}1_{B}(S_{y}(x))p_{y}(x)\nu (dy),\;\;x\in X.}$ Se ogni trasformazione ${\displaystyle S_{y}}$ è non singolare, allora l'operatore stocastico corrispondente alla probabilità di transizione è della forma

${\displaystyle Pf=\int _{Y}P_{S_{y}}(p_{y}f)\nu (dy),\;\;f\in L^{1},}$

dove ${\displaystyle P_{S_{y}}}$ è l'operatore di Frobenius-Perron per ${\displaystyle S_{y}}$.

• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
• Karma Dajani and Sjoerd Dirksin. A simple introduction to ergodic theory. University of Utrecht, Lecture notes in Ergodic Theory, 2008.
• Manfred Einsiedler and Thomas Ward. Ergodic Theory with a view towards Number Theory. Springer, first edition, 2010.
• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Peter Walters. An introduction to Ergodic Theory. Springer, 2000 edition.

• Teoria ergodica
• Operatore di Markov
• Trasformazione non singolare
• Trasformazione che preserva la misura

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