Notazione Steinhaus-Moser

La notazione Steinhaus-Moser in matematica è un tipo di notazione usato per esprimere numeri estremamente grandi. È un'estensione della notazione poligonale di Steinhaus. Nel 1950^[1] il matematico polacco Hugo Steinhaus e più tardi l'austriaco Leo Moser svilupparono la notazione.

• Il simbolo rappresenta un numero elevato a sé stesso
• Il simbolo rappresenta un numero ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle n}$ triangoli
• Il simbolo o rappresenta un numero ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle n}$ quadrati

Secondo questo criterio, ${\displaystyle n}$ inserito in un poligono con ${\displaystyle m}$ lati è equivalente al numero ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle n}$ poligoni di ${\displaystyle m-1}$ lati. Il numero ${\displaystyle n}$ inserito in due triangoli equivale ad ${\displaystyle n^{n}}$ in un triangolo, che equivale ad ${\textstyle (n^{n})^{(n^{n})}}$, ovvero ${\displaystyle n^{n}}$ alla ${\displaystyle n^{n}}$.

Steinhaus definì anche due valori per cui

• mega è uguale a ②
• megistone è uguale a ⑩

Il numero di Moser (o anche semplicemente "moser") equivale a "2 in un megagono", dove un megagono è un poligono con ②-lati

Esistono alcune variazioni alla notazione standard:

• la notazione "a funzione" (es. ${\displaystyle triangle(n)}$, o ${\displaystyle triangolo(n)}$, traducendo il nome del poligono)
• sia ${\displaystyle M(n,m,p)}$ il numero rappresentato da ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle m}$ poligoni con ${\displaystyle p}$ lati, allora
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$

e

• mega = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
• megistone = ${\displaystyle M(10,1,5)}$
• moser = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Mega, ②, il primo dei valori di Steinhaus, è già un numero molto grande, in quanto ② = quadrato (quadrato (2)) = quadrato (triangolo (triangolo (2))) = quadrato (triangolo (2²)) = quadrato (triangolo (4)) = quadrato (4⁴) = quadrato (256) = triangolo (triangolo (triangolo (... triangle (256) ...))) [256 triangoli] = triangolo (triangolo (triangolo (... triangle (256256) ...))) [255 triangoli] ~ triangolo (triangolo (triangolo (... triangle (3.2 × 10616) ...))) [254 triangoli] = ...

Usando l'altra notazione, mega = M(2,1,5) = M(256,256,3), quindi con la funzione ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ abbiamo che mega = ${\displaystyle f^{256}(256)}$ = ${\displaystyle f^{258}(2)}$, dove l'esponente rappresenta una funzione iterativa e non un valore numerico.

È stato dimostrato che, nella notazione a catena di frecce di Conway,

${\displaystyle {\rm {moser<3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2}}}$

e, nella notazione a frecce di Knuth,

${\displaystyle {\rm {{moser}<{\it {f^{\rm {3}}({\rm {4)={\it {f(f(f({\rm {4)))}}}}}}}}}}}$ dove ${\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}$

Quindi il numero di Moser, sebbene incomprensibilmente largo, è assurdamente piccolo in confronto al numero di Graham, visto che

${\displaystyle {\rm {{moser}\ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<{\it {f^{\rm {64}}({\rm {4)={\text{numero di Graham}}.}}}}}}}$

• Funzione di Ackermann

• Robert Munafo's Large Numbers, su mrob.com.
• Factoid on Big Numbers, su www-users.cs.york.ac.uk.
• Megistron at mathworld.wolfram.com, su mathworld.wolfram.com.
• Circle notation at mathworld.wolfram.com, su mathworld.wolfram.com.

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