Metodo degli spostamenti

Il metodo degli spostamenti è uno dei due possibili metodi di risoluzione del problema elastico-statico, assieme al metodo degli sforzi.

Partendo dalle equazioni di equilibrio, cinematiche e costitutive:

∇ ⋅ T + f = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} +\mathbf {f} =\mathbf {0} }
ε = 1 2 ( ∇ s + ∇ s T ) {\displaystyle \mathbf {\varepsilon } ={\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {s} +\nabla \mathbf {s} ^{T}\right)}
σ i j = D i j k l ε k l {\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}

che costituiscono un sistema differenziale del secondo ordine, a 9 incognite in 9 equazioni, si può arrivare a scrivere tre equazioni scalari nelle sole incognite spostamento note come equazioni di Navier[1]. Si noti che T {\displaystyle \mathbf {T} } è il tensore delle tensioni, f {\displaystyle \mathbf {f} } il vettore delle forze esterne e s {\displaystyle \mathbf {s} } il vettore degli spostamenti. Il sistema è del secondo ordine per cui l'ordine di continuità della soluzione è unitario. Gli spostamenti sono quindi soluzione continua come conseguenza della forma matematica del sistema e non occorre aggiungere alcuna condizione di compatibilità o congruenza.

Per arrivare alle equazioni di Navier si parte dalla prima equazione sostituendo agli sforzi le loro espressioni in termini di deformazioni attraverso il legame costitutivo, e quindi sostituendo le deformazioni stesse con le derivate degli spostamenti attraverso il legame cinematico.

Le equazioni di Navier in forma vettoriale si scrivono come:

( λ + G m ) ∇ ( ∇ ⋅ s ) + G ∇ 2 s + ρ F = 0 {\displaystyle \left(\lambda +G_{m}\right)\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {s} \right)+G\nabla ^{2}\mathbf {s} +\rho \mathbf {F} =\mathbf {0} }

cioè scalarmente:

{ ( λ + G m ) ( u x x + v x y + w x z ) + G m ∇ 2 u + F x = 0 ( λ + G m ) ( u y x + v y y + w y z ) + G m ∇ 2 v + F y = 0 ( λ + G m ) ( u z x + v z y + w z z ) + G m ∇ 2 w + F z = 0 {\displaystyle {\begin{cases}\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{xx}+v_{xy}+w_{xz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{u}+F_{x}=0\\\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{yx}+v_{yy}+w_{yz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{v}+F_{y}=0\\\left(\lambda +G_{m}\right)\left(u_{zx}+v_{zy}+w_{zz}\right)+G_{m}\nabla ^{2}{w}+F_{z}=0\end{cases}}}

Con:

  • ρ F = ( F x ,   F y ,   F z ) {\displaystyle \rho \mathbf {F} =\left(F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\right)} , dove F {\displaystyle \mathbf {F} } è la forza di volume del corpo per unità di massa e ρ {\displaystyle \rho } è la densità di massa;
  • { u ,   v ,   w } {\displaystyle \{u,\ v,\ w\}} componenti dello spostamento;
  • λ {\displaystyle \lambda } è la costante di Lamé, λ = E ∗ ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\lambda }={\frac {E*\nu }{\left(1+\nu \right)\left(1-2\nu \right)}}} , e G è il modulo di elasticità tangenziale, G m = E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle G_{m}={\frac {E}{2\left(1+\nu \right)}}} , dove E {\displaystyle E} è il modulo di elasticità longitudinale di Young e ν {\displaystyle \nu } è il coefficiente di Poisson.

Note

  1. ^ Da non confondersi con le equazioni di Navier-Stokes della fluidodinamica, che concettualmente sono analoghe a queste.

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