Funzione rampa

La funzione rampa è una funzione reale elementare, facilmente calcolabile come la media aritmetica della variabile indipendente e del suo valore assoluto.

Questa funzione è utilizzata nel campo dell'ingegneria (ad esempio, nella teoria del DSP). Il nome funzione rampa deriva dalla forma del suo grafico.

La funzione rampa ${\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ può essere definita analiticamente in svariati modi. Definizioni possibili sono le seguenti.

• Funzione definita a tratti:

${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0.\end{cases}}}$

• La media tra una linea retta con pendenza unitaria e il suo modulo:

${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}},}$

ciò può essere ottenuto notando la definizione seguente: ${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$, per cui ${\displaystyle a=x}$ e ${\displaystyle b=0.}$

• La funzione gradino moltiplicata per una linea retta con pendenza unitaria:

${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right).}$

• La convoluzione della funzione gradino con sé stessa:

${\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right).}$

• L'integrale della funzione gradino:

${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi .}$

In tutto il dominio la funzione è non negativa ${\displaystyle R(x)\geqslant 0}$ per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Quindi la funzione è uguale al suo valore assoluto: ${\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right).}$

La sua derivata è la funzione gradino:

${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {se} \ x\neq 0.}$

Segue dalla quinta definizione.

La trasformata di Fourier di ${\displaystyle R(x)}$ è:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}$

dove ${\displaystyle \delta (x)}$ è la delta di Dirac.

La trasformata di Laplace di ${\displaystyle R(x)}$ è:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{+\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Ogni funzione iterata della rampa è uguale a sé stessa, cioè

${\displaystyle R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right).}$

Dimostrazione: ${\displaystyle R(R(x))={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}={\frac {2R(x)}{2}}=R(x).}$

• Mathworld, su mathworld.wolfram.com.

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