Funzione definita positiva

In matematica, una funzione di variabile reale si dice definita positiva attorno ad un punto ${\displaystyle p}$ quando in corrispondenza di ${\displaystyle p}$ essa si annulli, ed intorno a ${\displaystyle p}$ essa assuma valori strettamente positivi.

L'analisi delle funzioni definite positive (e delle matrici definite positive, concetto strettamente correlato attraverso la teoria delle coniche e delle quadriche) è di estremo interesse per molte branche della matematica.

Una funzione ${\displaystyle V\left({\underline {x}}\right):R^{n}\rightarrow R}$ continua si dice definita positiva in un intorno sferico ${\displaystyle U_{\rho }\left(p\right)}$ di raggio ${\displaystyle \rho }$ di un punto ${\displaystyle p}$ se e solo se:

1. ${\displaystyle V\left(p\right)=0}$
2. ${\displaystyle V\left({\underline {x}}\right)>0}$ per ogni ${\displaystyle {\underline {x}}\in U_{\rho }\left(p\right),{\underline {x}}\neq p}$

Mediante il concetto di funzione di classe k è possibile generalizzare questa definizione a funzioni qualunque. Una funzione (non necessariamente continua) ${\displaystyle V\left({\underline {x}}\right):R^{n}\rightarrow R}$ si dice infatti definita positiva in ${\displaystyle U_{\rho }\left(p\right)}$ se:

1. ${\displaystyle V\left(p\right)=0}$
2. Esiste una funzione di classe k ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ tale che: ${\displaystyle V\left({\underline {x}}\right)\geq \varphi \left(\left\|x\right\|\right)}$ per ogni ${\displaystyle {\underline {x}}\in U_{\rho }\left(p\right)}$

Una funzione definita positiva di una variabile reale ${\displaystyle x}$ è una funzione complessa ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

tale che per ogni n-upla di numeri reali

x₁, ..., x_n

la matrice A ∈ M_n×n(C) di valori

a_ij = f(x_i − x_j)

è una matrice semi-definita positiva. È frequente limitarsi al caso in cui f(−x) sia il complesso coniugato di f(x), rendendo la matrice A Hermitiana.

Se una funzione f è semidefinita positiva, troviamo ponendo n = 1 che:

f(0) ≥ 0.

Ponendo n=2 e ricordando che una matrice definita positiva ha un determinante positivo otteniamo:

f(x − y)f(y − x) ≤ f(0)²

il che implica

|f(x)| ≤ f(0).

Il concetto di funzione definita positiva sorge naturalmente nella teoria della trasformata di Fourier; è facile dimostrare direttamente che essere definita positiva è una condizione necessaria perché f sia la trasformata di Fourier di una funzione g sull'asse reale con g(y) ≥ 0.

Il risultato inverso è il teorema di Bochner, che afferma che una funzione continua definita positiva sull'asse reale è la trasformata di Fourier di una misura (positiva) ^[1]

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione definita positiva, su MathWorld, Wolfram Research.

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