Estensione trascendente

In matematica, più in particolare nella teoria dei campi, un'estensione trascendente (o ampliamento trascendente) è un'estensione di campi che non è algebrica, ovvero un'estensione ${\displaystyle F\subseteq K}$ tale che nel campo ${\displaystyle K}$ esiste almeno un elemento α trascendente su ${\displaystyle F,}$ ovvero che non è radice di alcun polinomio a coefficienti in ${\displaystyle F.}$

Un esempio tipico di estensione trascendente è ${\displaystyle F\subseteq F(X)}$, dove ${\displaystyle F(X)}$ è il campo delle funzioni razionali a coefficienti in ${\displaystyle F;}$ altri esempi sono le estensioni ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {C} }$.

Poiché un elemento ${\displaystyle \alpha }$ trascendente su ${\displaystyle F}$ non è soluzione di alcun polinomio a coefficienti in ${\displaystyle F,}$ il grado dell'estensione ${\displaystyle F\subseteq F(\alpha )}$ è infinito; di conseguenza, il grado di qualsiasi estensione trascendente è infinito, e questo strumento non può essere usato per studiarle. Al suo posto si introduce la nozione di grado di trascendenza, ottenuto sostituendo al concetto di indipendenza lineare quello di indipendenza algebrica: un insieme ${\displaystyle S}$ si dice algebricamente indipendente su un campo ${\displaystyle F}$ se non esiste alcun polinomio non nullo ${\displaystyle P}$ in più variabili tale che ${\displaystyle P(s_{1},\ldots ,s_{n})=0}$ per elementi ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ in ${\displaystyle S.}$ Analogamente alla definizione di base in algebra lineare si ha la definizione di base di trascendenza di un ampliamento ${\displaystyle F\subseteq K}$: è un sottoinsieme ${\displaystyle T}$ di ${\displaystyle K}$ tale che ${\displaystyle T}$ è algebricamente indipendente su ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle K}$ è algebrico su ${\displaystyle F(T).}$

Questo parallelismo tra l'algebra lineare e le estensioni trascendenti non si limita alle definizioni, ma si estende anche a molte delle proprietà delle basi: ogni ampliamento trascendente possiede una base di trascendenza (anche se per dimostrarlo è necessario assumere il lemma di Zorn) e ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti può essere completato ad una base di trascendenza aggiungendovi altri elementi. In particolare, due basi di trascendenza devono avere la stessa cardinalità: questa è detta grado di trascendenza di ${\displaystyle K}$ su ${\displaystyle F,}$ ed è analoga alla nozione di dimensione di uno spazio vettoriale.

Dalla definizione segue immediatamente che se ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq L}$ ed ${\displaystyle L}$ è algebrico su ${\displaystyle K,}$ allora ${\displaystyle K}$ ed ${\displaystyle L}$ hanno lo stesso grado di trascendenza su ${\displaystyle F;}$ in particolare, un'estensione algebrica ha grado di trascendenza ${\displaystyle 0}$.

A differenza del grado dell'estensione, che è moltiplicativo (cioè se ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq L}$ allora ${\displaystyle [L:F]=[K:F]\cdot [L:K]}$), il grado di trascendenza è additivo, cioè il grado di trascendenza di ${\displaystyle L}$ su ${\displaystyle F}$ è uguale alla somma dei gradi di trascendenza di ${\displaystyle K}$ su ${\displaystyle F}$ e di ${\displaystyle L}$ su ${\displaystyle K.}$

Un'estensione generata da elementi algebricamente indipendenti è detta puramente trascendente. Un ampliamento puramente trascendente di ${\displaystyle F}$ è isomorfo ad un campo ${\displaystyle F(X)}$ di funzioni razionali, dove ${\displaystyle X}$ indica un insieme di indeterminate indipendenti; il suo grado di trascendenza è dato dalla cardinalità di ${\displaystyle X}$, ovvero dal numero di indeterminate. Ad esempio, l'ampliamento ${\displaystyle F\subseteq F(X)}$ è puramente trascendente con grado di trascendenza ${\displaystyle 1}$, e ${\displaystyle F\subseteq F(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ha grado ${\displaystyle n}$.

Non tutte le estensioni trascendenti ${\displaystyle F\subseteq K}$ sono puramente trascendenti. Questo è vero nel caso in cui ${\displaystyle K}$ sia un ampliamento intermedio tra ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle F(X)}$ (teorema di Lüroth; in particolare ${\displaystyle K}$ è un'estensione semplice di ${\displaystyle F}$), ma non per più alti gradi di trascendenza; nel caso in cui ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq F(X,Y)}$, il risultato è ancora valido se si suppone che ${\displaystyle F}$ sia algebricamente chiuso e ${\displaystyle F(X,Y)}$ è un ampliamento finito e separabile di ${\displaystyle K.}$

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.

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