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In matematica, una differenza divisa è una quantità, definita in modo ricorsivo su punti distinti. Vengono utilizzate ad esempio nell'interpolazione polinomiale, nei metodi di interpolazione di Newton alle differenze divise e interpolazione di Hermite.
Definizione
Dati punti
Definiamo le differenze divise come:
Definiamo le differenze divise all'indietro come:
dove è l'ordine della differenza divisa.
Notazione, differenze divise sui punti di una funzione
Se i punti vengono dati come valori di una funzione :
si può trovare la notazione
Altre scritture equivalenti sono:
Rapporto con le derivate di f(x)
Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine , purché esista in quel punto[1]:
Più in generale, definiamo
la cui esistenza è dimostrabile[2].
Esempi
Differenze divise per e i primi valori di :
Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare
Rapporto incrementale
Lo stesso argomento in dettaglio: Rapporto incrementale. Data una funzione , presi due punti , la differenza divisa di ordine :
è il rapporto incrementale costruito su due punti per la quantità .
Invarianza per permutazione
Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione simmetrica. Per induzione matematica, non è difficile dimostrare che
Questa espressione ci permette di affermare che è una funzione invariante a permutazione dei suoi argomenti, cioè
dove denota una qualsiasi permutazione di [1].
Note
- ^ a b Monegato, Giovanni., Metodi e algoritmi per il calcolo numerico, Clut, [2008], ISBN 9788879922654, OCLC 956017867. URL consultato il 29 aprile 2019.
- ^ Isaacson, Eugene., Analysis of numerical methods, Dover Publications, 1994, p. 252, ISBN 0486680290, OCLC 30032279. URL consultato il 29 aprile 2019.
Bibliografia
- Monegato, Giovanni., Metodi e algoritmi per il calcolo numerico, Clut, [2008], ISBN 9788879922654, OCLC 956017867. URL consultato il 29 aprile 2019.
Voci correlate
- Interpolazione polinomiale
- Interpolazione di Hermite
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