Titik stasioner
Dalam matematika, khususnya bidang kalkulus, titik stasioner atau titik pegun dari fungsi terdiferensialkan adalah suatu titik dalam domain fungsi tersebut dengan nilai turunan pertama pada titik itu sama dengan nol.[1][2] Dengan kata lain, titik stasioner merupakan titik di mana fungsi "berhenti" berubah, naik atau turun, pada titik tersebut. Untuk fungsi beberapa peubah riil yang dapat diturunkan, titik stasioner adalah titik dalam domain fungsi yang nilai turunan parsialnya sama dengan nol.
Titik stasioner mudah terlihat pada suatu grafik fungsi satu peubah, karena titik tersebut terletak di titik dengan garis singgung mendatar (yakni sejajar dengan sumbu-x). Untuk fungsi dengan dua peubah, titik ini sama dengan titik di grafik dengan bidang singgung yang sejajar dengan bidang xy.
Definisi
Misalkan suatu fungsi dapat diturunkan pada titik Titik adalah suatu titik stasioner fungsi , jika untuk setiap berlaku
Notasi menyatakan gradien dari fungsi .
Untuk fungsi satu peubah , definisi titik stasioner dapat disederhanakan menjadi: Titik adalah suatu titik stasioner jika .
Klasifikasi
Titik stasioner fungsi bernilai riil dapat digolongkan menjadi empat jenis, dari hasil uji turunan pertama:
- Minimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari negatif menjadi positif;
- Maksimum lokal adalah titik ketika turunan fungsi berubah dari positif menjadi negatif
- Titik belok yang naik adalah titik ketika turunan fungsi bernilai positif di kedua sisi titik stasioner
- Titik belok yang turun adalah titik ketika turunan fungsi bernilai negatif di kedua sisi titik stasioner;
Titik stasioner jenis pertama dan kedua disebut "ekstrema lokal". Sementara itu, titik yang merupakan maksimum atau minimum global/absolut disebut ekstremum global/absolut. Dua jenis titik stasioner berikutnya yang bukan merupakan ekstremum lokal disebut titik sadel.
Penggambaran kurva
Penentuan posisi dan sifat titik stasioner membantu proses penggambaran kurva fungsi yang dapat diturunkan. Penyelesaian persamaan f'(x) = 0 menghasilkan koordinat x semua titik stasioner; koordinat y adalah nilai fungsi di koordinat x tersebut. Sifat suatu titik stasioner di x dapat ditentukan dengan melihat turunan kedua f''(x):
- Jika f''(x) < 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum maksimum
- Jika f''(x) > 0, titik stasioner di x merupakan ekstremum minimum
- Jika f''(x) = 0, sifat titik stasioner harus ditentukan dengan cara lain
Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari nilai fungsi di antara titik stasioner (jika fungsi didefinisikan dan tidak terputus).
Referensi
Pranala luar
- Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot
- l
- b
- s
- Teorema binomial
- Fungsi cekung
- Fungsi kontinu
- Faktorial
- Beda hingga
- Variabel bebas dan variabel terikat
- Grafik fungsi
- Fungsi linear
- Radian
- Teorema Rolle
- Sekan
- Kemiringan
- Garis singgung
- Bentuk tak tentu
- Limit barisan
- Limit fungsi
- Urutan aproksimasi
- definisi (ε, δ) dari limit
- Turunan
- Turunan kedua
- Turunan parsial
- Diferensial
- Operator diferensial
- Teorema nilai purata
- Notasi
- Kaidah pendiferensialan
- jumlahan
- linearitas
- pangkat
- Rantai
- L'Hôpital
- darab
- Aturan umum Leibniz
- Hasil-bagi
- Teknik lainnya
- Turunan implisit
- Turunan fungsi invers
- Turunan logaritmik
- Laju yang berkaitan
- Titik stasioner
- Uji turunan pertama
- Uji turunan kedua
- Teorema nilai ekstrem
- Maksimum dan minimum
- Penerapan lebih lanjut
- Persamaan diferensial
- Persamaan diferensial biasa
- Persamaan diferensial parsial
- Persamaan diferensial stokastik
- Persamaan diferensial-integral
- Integral tak tentu
- Panjang busur
- Integral Riemann
- Sifat dasar
- Konstanta integrasi
- Teorema dasar kalkulus
- Kaidah integral Leibniz
- Pengintegralan parsial
- Integral substitusi
- Substitusi trigonometri
- Substitusi Euler
- Substitusi tangen setengah sudut
- Dekomposisi pecahan parsial
- Kaidah trapesium
- Volume
- Persamaan integral
- Persamaan diferensial-integral
- Turunan parsial
- Pengali Lagrange
- Integral lipat
- Integral garis
- Integral permukaan
- Integral volume
- Matriks Hesse
- Matriks Jacobi
- Geometrik
- Matrix
- Topik lanjutan
- Bentuk diferensial
- Luar
- Perumuman teorema Stokes
- Tensor
- Barisan aritmetika-geometrik
- Jenis-jenis deret
- Uji konvergensi
- suku ke-n
- Rasio
- Akar
- Integral
- Perbandingan langsung
- Perbandingan limit
- Deret selang-seling
- Kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
bilangan khusus
- Bilangan Bernoulli
- e (konstanta matematika)
- Fungsi eksponensial
- Logaritma alami
- Aproksimasi Stirling
- Adequality
- Brook Taylor
- Colin Maclaurin
- Fluksion
- Gottfried Wilhelm Leibniz
- Hukum kekontinuan
- Infinitesimal
- Isaac Newton
- Kalkulus infinitesimal
- Keumuman aljabar
- Leonhard Euler
- Method of Fluxions
- The Method of Mechanical Theorems
- Kaidah pendiferensialan
- Daftar limit
- Daftar integral
- Daftar integral dari fungsi eksponensial
- Daftar integral dari fungsi hiperbolik
- Daftar integral dari fungsi hiperbolik invers
- Daftar integral dari fungsi irasional
- Daftar integral dari fungsi logaritmik
- Daftar integral dari fungsi rasional
- Daftar integral dari fungsi trigonometrik invers
- Daftar integral dari fungsi trigonometrik
- Sekan
- Sekan kubik
- Kalkulus kompleks
- Integral kontur
- Geometri diferensial
- Manifol
- Kelengkungan
- dari kurva
- dari permukaan
- Tensor
- Rumus Euler–Maclaurin
- Terompet Jibril
- Integration bee
- Bukti bahwa 22/7 melebihi π
- Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus