Persamaan diferensial eksak

Persamaan diferensial eksak atau persamaan diferensial total adalah salah satu jenis persamaan diferensial biasa yang sering digunakan dalam ilmu fisika dan teknik.

Definisi

Dengan D=R2 dan dua fungsi I dan J yang bersifat kontinu di D, maka persamaan diferensial biasa orde pertama berikut

I ( x , y ) d x + J ( x , y ) d y = 0 , {\displaystyle I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0,\,\!}

disebut persamaan diferensial eksak jika terdapat fungsi F yang dapat diturunkan secara terus menerus yang disebut fungsi potensial, sehingga

∂ F ∂ x = I {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=I}

dan

∂ F ∂ y = J . {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=J.}

Tata nama "persamaan diferensial eksak" mengacu kepada turunan eksak suatu fungsi. Untuk fungsi F ( x 0 , x 1 , . . . , x n − 1 , x n ) {\displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})} , turunan eksak sehubungan dengan x 0 {\displaystyle x_{0}} adalah

d F d x 0 = ∂ F ∂ x 0 + ∑ i = 1 n ∂ F ∂ x i d x i d x 0 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}.}

Contoh

Fungsi F : R 2 → R {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } berupa

F ( x , y ) = 1 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}

merupakan fungsi potensial untuk persamaan diferensial

x d x + y d y = 0. {\displaystyle x\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y=0.\,}

Penyelesaian

Jika terdapat persamaan diferensial eksak dengan definisi D=R2 dengan fungsi potensial F, maka fungsi yang dapat diturunkan f dengan (x, f(x)) dalam D adalah penyelesaiannya jika dan hanya jika terdapat bilangan riil c sehingga

F ( x , f ( x ) ) = c . {\displaystyle F(x,f(x))=c.\,}

Untuk permasalahan nilai awal

y ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\,}

Fungsi potensial dapat dicari dengan Cara

F ( x , y ) = ∫ x 0 x I ( t , y 0 ) d t + ∫ y 0 y J ( x , t ) d t = ∫ x 0 x I ( t , y 0 ) d t + ∫ y 0 y [ J ( x 0 , t ) + ∫ x 0 x ∂ I ∂ t ( u , t ) d u ] d t . {\displaystyle F(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}J(x,t)\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}I(t,y_{0})\mathrm {d} t+\int _{y_{0}}^{y}\left[J(x_{0},t)+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\partial I}{\partial t}}(u,t)\,\mathrm {d} u\,\right]\mathrm {d} t.}

yang menyelesaikan

F ( x , y ) = c {\displaystyle F(x,y)=c\,}

untuk y, di mana c adalah bilangan riil.

Referensi

  • Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8