Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk[1][2][3][4]

x n + 1 = α + ∑ i = 0 k β i x n − i A + ∑ i = 0 k B i x n − i   , {\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,}

dimana kondisi awal x 0 , x − 1 , … , x − k {\displaystyle x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}} sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk n {\displaystyle n} apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama

Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

w t + 1 = a w t + b c w t + d . {\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.}

Bila a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} dan kondisi awal w 0 {\displaystyle w_{0}} adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.[3]

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis w t {\displaystyle w_{t}} sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain x t {\displaystyle x_{t}} yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada x t {\displaystyle x_{t}} .

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.[5][6]

Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertama[7] untuk mengembangkan variabel yang diubah x t {\displaystyle x_{t}} , ketika a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} ditulis sebagai

y t + 1 = α − β y t {\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}

dimana α = ( a + d ) / c {\displaystyle \alpha =(a+d)/c} dan β = ( a d − b c ) / c 2 {\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}} dan dimana w t = y t − d / c {\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c} .

Penulisan lebih lanjut y t = x t + 1 / x t {\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}} ditampilkan sebagai hasil

x t + 2 − α x t + 1 + β x t = 0. {\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}

Pendekatan kedua

Pendekatan ini[8] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk x t {\displaystyle x_{t}} alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana ( d − a ) 2 + 4 b c {\displaystyle (d-a)^{2}+4bc} bukanlah negatif. Tulis sebagai x t = 1 / ( η + w t ) {\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})} diimplikasikan w t = ( 1 − η x t ) / x t {\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}} , dimana η {\displaystyle \eta } yang diberikan oleh η = ( d − a + r ) / 2 c {\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c} dan dimana r = ( d − a ) 2 + 4 b c {\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}} . Maka dapat ditunjukkan bahwa x t {\displaystyle x_{t}} dievolusikan sebagai

x t + 1 = ( d − η c η c + a ) x t + c η c + a . {\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}

Pendekatan ketiga

Persamaan

w t + 1 = a w t + b c w t + d {\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

X t + 1 = − ( E + B X t ) ( C + A X t ) − 1 , {\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}

dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah[9]

X t = N t D t − 1 {\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}

dimana

( N t D t ) = ( − B − E A C ) t ( X 0 I ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}

Aplikasi

Hal ini ditunjukkan[10] bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

H t − 1 = K + A ′ H t A − A ′ H t C ( C ′ H t C ) − 1 C ′ H t A , {\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Referensi

  1. ^ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−–218, eqns (41,42)
  2. ^ Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books. 
  3. ^ a b Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books. 
  4. ^ Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
  5. ^ "Equivalent resistance in ladder circuit". Stack Exchange. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  6. ^ "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". Youtube. Diakses tanggal 21 Februari 2022. 
  7. ^ Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
  8. ^ Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
  9. ^ Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.
  10. ^ Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

Bacaan lebih lanjut

  • Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.