Szimmetrikus hatványösszeg-polinom

A matematikában, azon belül a kommutatív algebrában a szimmetrikus hatványösszeg-polinomok a szimmetrikus polinomok egyfajta alapvető építőkövei, abban az értelemben, hogy minden racionális együtthatós szimmetrikus polinom felírható szimmetrikus hatványösszeg-polinomok racionális együtthatós polinomjaként. Azonban nem minden egész együtthatós szimmetrikus polinomot kaphatunk meg szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatainak egész együtthatós kombinációjaként. Ezek ugyanis a racionálisok" felett alkotnak generátorhalmazt, nem pedig az egészek felett.

Jelöljük p_k-val az x₁, ..., x_n változók k-adik szimmetrikus hatványösszeg-polinomját, amely minden k = 0, 1, 2, ... esetén az n változó k-adik hatványainak összege. Formálisan:

${\displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.}$

Az első néhány polinom:

${\displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=n,}$

${\displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,}$

${\displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,.}$

Így minden nemnegatív egész k-hoz létezik pontosan egy szimmetrikus hatványösszeg-polinom, amely k-adfokú és n változós.

A szimmetrikus hatványösszeg-polinomok szorzatának lineáris kombinációi által előállított polinomgyűrű kommutatív gyűrű.

Az alábbiakban láthatunk néhány szimmetrikus hatványösszeg-polinomot konkrét értékekre kiszámolva:

1) n = 1, k = 1:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}\,.}$

2) n = 2, k = 1, 2:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.}$

3) n = 3, k = 1, 2, 3:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,}$

Az n változós 1, 2, ..., n-edfokú szimmetrikus hatványösszeg-polinomok halmaza generálja az n-edfokú szimmetrikus polinomok gyűrűjét. Másként:

Tétel. A racionális együtthatójú szimmetrikus polinomok gyűrűje egyenlő a ${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$ racionális polinomgyűrűvel. Hasonlóan teljesül ez akkor is, ha az együtthatókat bármely nem nulla karakterisztikájú testből vesszük.

Ugyanakkor ez nem igaz, ha az együtthatóknak egészeknek kell lenni. Például ha n = 2, akkor a

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}$

szimmetrikus polinomnak az alábbi felírásában tört együtthatók jelennek meg:

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}}$.

A tétel szerint ez az egyetlen lehetőség a ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})}$ polinom p₁-gyel és p₂-vel való kifejezésére. Következésképpen P nem tartozik a ${\displaystyle \mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}]}$ polinomgyűrűbe. Másik példa az elemi szimmetrikus polinomok - e_k - kifejezése a hatványösszeg-polinomok polinomjaként, ekkor nem mindegyiknek lesznek egész együtthatói, például

${\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,.}$

A tétel szintén nem lesz igaz, ha a test karakterisztikája nullától különböző. Például ha az F test karakterisztikája 2, akkor ${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}}$, úgyhogy p₁ és p₂ nem tudják előállítani e₂ = x₁x₂-t.

A tétel részleges bizonyításának vázlata: A Newton-féle azonosságoknál a hatványösszegek az elemi szimmetrikus polinomok függvényei; ezt a következő rekurzióból kapjuk meg, bár a hatványösszegeket megadó explicit függvény az e_j-re nézve bonyolult (lásd Newton-féle azonosságok):

${\displaystyle p_{n}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{j}p_{n-j}\,.}$

Átírva ugyanezen rekurziót megkapjuk az elemi szimmetrikus polinomokat a hatványösszeg-polinomokkal kifejezve (szintén implicte, az explicit képlet bonyolultsága miatt):

${\displaystyle e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{n-j}p_{j}\,.}$

Ebből következik, hogy az elemi szimmetrikus polinomok racionális, bár nem egész együtthatós lineáris kombinációi az 1, ..., n-edfokú hatványösszeg-polinomoknak. Mivel az elemi szimmetrikus polinomok egy testből vett együtthatójú szimmetrikus polinomok egy bázisát alkotják, minden n változós szimmetrikus polinom egy ${\displaystyle f(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ polinomfüggvénye a p₁, ..., p_n hatványösszeg-polinomoknak. Tehát a szimmetrikus polinomok gyűrűjét tartalmazza a hatványösszeg-polinomok által generált gyűrű, ${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$. Mivel minden hatványösszeg-polinom szimmetrikus, a két gyűrű egyenlő.

(Ez nem bizonyítja azt, hogy az f polinom egyértelmű.)

• Macdonald, I.G. (1979), Symmetric Functions and Hall Polynomials. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press.
• Macdonald, I.G. (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials, second ed. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (paperback, 1998).
• Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1

• Reprezentáció elmélet
• Newton-féle azonosságok