Legendre-függvény

A Legendre-függvény, P_λ, Q_λ, és az asszociált Legendre-függvények Pμλ, Qμλ, a Legendre-polinomok általánosításai.^[1]

A Legendre-függvényt az elméleti fizikában alkalmazzák, különösen a kvantummechanika és az elektrodinamika területén.

Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapta a nevét.

Az asszociált Legendre-függvények a Legendre-függvény megoldásai:

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}$

ahol λ és μ komplex számok, az asszociált Legendre-függvények jellemzői (fokozat, rend/faj). A Legendre-polinomok a μ=0 fajú asszociált Legendre-függvények. Ez egy másodrendű lineáris egyenlet, három reguláris szinguláris ponttal (1, -1, és ∞).

Mint minden hasonló egyenlet, átalakítható hipergeometrikus differenciálegyenletté, a változók cseréjével, és megoldásai a hipergeometrikus függvények felhasználásával adhatók meg.

Ezeket a függvényeket általános komplex paraméterekkel és argumentummal lehet definiálni:

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}$

ahol ${\displaystyle \Gamma }$ a gamma-függvény és ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ a hipergeometrikus függvény.

A másodrendű differenciálegyenletnek van egy második megoldása, ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$, :

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad \ |z|>1.}$

A Legendre-függvény felirható kontúr integrálokként is. Például:

${\displaystyle P_{\lambda }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$

Ahol a kontúr körök az 1, és z pontok körül pozitív irányban, és nem a -1 körül értelmezendők. Valós x –re, kapjuk:

${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle P_{s}}$ valós integrálos ábrázolása, igen hasznos a ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ harmonikus analízisében, ahol ${\displaystyle G//K}$, a ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ dupla coset-tere (lásd zónás gömb-függvény).

${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ Fourier-transzformáltja:

${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$

ahol

${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$

• Dunster, T. M. (: "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Cambridge University Press. 2010. 109–113. o. ISBN 978-0521192255  
• Snow, Chester. (: Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory. (hely nélkül): National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, Washington, D.C.: U. S. Government Printing Office. 1952. 109–113. o.  

• http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015023896346
• http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreQ2General/
• http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendrePGeneral/
• http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/LegendreP2General/
• Legendre-polinomok
• Differenciálegyenlet
• Hipergeometrikus függvény
• Fourier-transzformáció