Klein-féle palack
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/KleinBottle-01.png/220px-KleinBottle-01.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Acme_klein_bottle.jpg/220px-Acme_klein_bottle.jpg)
A Klein-féle palack vagy Klein-kancsó a matematikai topológia egyik fogalma, egy kétdimenziós, egyoldalú (vagyis nem irányítható) felület, amit önmagába forduló ívelt kúpként lehet elképzelni. A palacknak a belseje egyben a külseje is, tehát ha a felületét elkezdenénk festeni, az ecset felemelése nélkül ki tudnánk festeni az egészet. Nevét Felix Klein (1849–1925) német matematikusról kapta.
A Klein-kancsó szemléletes leírása
Szemléletes leírással jól elképzelhetővé tehetjük a rajzon is látható Klein kancsót. A Klein kancsó felülete egy a tetején kiöblösödő, de lefelé haladva fokozatosan elvékonyodó cső, (szemléletesen egy lopótök alakú kancsó), melynek alsó, elvékonyodó szára visszakanyarodik, fogantyút alkot, majd áthatol a vastag csőszakasz falán, és belülről csatlakozik a cső szélesebb (a „lopótök” belső) „tetejéhez”.
Érdekességek
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Klein-f%C3%A9le_palack.jpg/250px-Klein-f%C3%A9le_palack.jpg)
- A Klein-kancsó előállítható két, tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával.
- A Klein-kancsó felületére kettős-fríz mintázatok helyezhetők, melyek érdekesen transzformálódnak a két Möbius-szalaggá való szétválasztáskor.
- A Klein-kancsó önátmetszés nélkül nem ágyazható be a háromdimenziós térbe. Ehhez legalább négy dimenzió kell.
- A Klein-kancsó kétdimenziós, zárt sokaság, ami azt jelenti, hogy kompakt felület, és nincs határa.
- Differenciálható sokaság, azaz leírható differenciálható függvényekkel.
- Ha egy gömbön kivágunk két lyukat, és a lyukak határát egy-egy Möbius-szalag határával azonosítjuk, akkor Klein-palackot kapunk.
- A Klein-kancsóra rajzolt bármely térkép kiszínezhető legfeljebb hat szín felhasználásával. Ez az egyetlen kivétel a Heawood-sejtés alól, ami a négyszíntétel általánosításaként összefüggést állít a felhasználandó színek száma és az adott felület nemszáma között. A sejtés szerint a színek számának hétnek kell lennie.
Képletek
A Klein-palack például a következőképpen írható le képletekkel:
ahol és esetén:
és -re meg -re:
Az a és a b konstansok a palack méretét és arányait határozzák meg.
Topológia
A Klein-palack a következőképpen konstruálható:
Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk az éleket úgy, ahogy az ábra mutatja: az azonos színűeket azonosítjuk a nyilaknak megfelelő irányok szerint. Formálisan, a Klein-palack megkapható az [0,1] × [0,1] négyzetből a (0,y) ~ (1,y), 0 ≤ y ≤ 1 és az (x,0) ~ (1-x,1) 0 ≤ x ≤ 1 relációk szerinti ragasztással. Ezt úgy is mondjuk, hogy a négyzet a Klein-palack fundamentális poligonja.
A Klein-palack topológiai értelemben nem metszi át magát, mégsem ágyazható be a háromdimenziós térbe önátmetszés nélkül. Ekkor a következőképpen képzelhető el: egy hosszú téglalap hosszabb oldalait összeragasztjuk úgy, ahogy a piros nyilak mutatják. Ezután a cső egyik végét átdugjuk a cső falán, és belülről ragasztjuk a cső másik végéhez. Az így készült Klein-palackon lehet egy törés ott, ahol a két véget összeragasztottuk, azonban valójában sehol sincs törés. Ez a Klein-palack immerziója a háromdimenziós térbe. A háromdimenziós immerzió lehetővé teszi, hogy láttassuk a Klein-palack tulajdonságait: nincs határa, ahol hirtelen véget érne, egy oldalú és nem irányítható.
A valóságban is hasonló módon készítenek Klein-palackokat üvegből.
Négy dimenzióban az önátmetszés kiküszöbölhető úgy, hogy a háromdimenziós immerzióban kapott képben kihúzzuk az önátmetszés környékét a negyedik dimenzió irányába. Koordinátákkal ez úgy valósítható meg, hogy a háromdimenziós Klein-palackot a nulla negyedik koordinátájú altérbe képezzük le, és az önátmetszés környékén folytonosan megnöveljük a negyedik koordinátát úgy, hogy ott legyen a legnagyobb, ahol az önátmetszés lenne.
Kapcsolódó szócikkek
- egyoldalú nyílt felület
- Möbius-szalag
Források
- Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és Topológia: Rácsátrendeződések a Möbius-szalag–Tórusz transzformáció során. Természet Világa, 1990/10. 464-466. (HU ISSN 0040-3717)
- Bérczi Sz. (1993): Symmetry Changes by Cellular Automata in Transformations of Closed Double-Threads and Cellular Tubes with Möbius-Band, Torus, Tube-Knot and Klein-Bottle Topologies. Symmetry: Culture and Science, 4. No. 1. p. 49-68. (ISSN 0865-4824)
- Szaniszló Bérczi (1997): Symmetrieanderungen durch zellulare Automaten in Transformationen geschlossener Doppelfaden und zellularer Röhren mit Möbiusband-, Torus-, Röhrenknoten- und Klein-Flaschen-Topologie. (In: Jenseits von Kunst, P. Weibel, ed.), p. 216-220. Passagen Verlag, Wien (A Művészeten Túl magyar katalógus ISBN száma: ISBN 963-03-8859-6)
- Kétdimenziós sokaságok konstrukciója
- A Klein-palack
- Videó a Klein-palack konstrukciójáról [1].
- Klein-palack a MathWorldnél
- Alling-Greenleaf a Klein-palackról
- A Symmetry changes by cellular automata cikk
- Matematika képekben - A Klein-palack Archiválva 2011. március 2-i dátummal a Wayback Machine-ben
- www.klein-bottle-film.com: Klein-féle palack animáció, egy utazással a palackon keresztül, Felix Klein eredeti leirásaval. Gyártotta a Freie Univeverität Berlin 2010-ben.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap