Jordan–Hölder-tétel

A csoportelmélet egy jelentős eredménye a Jordan–Hölder-tétel, amely azt állítja, hogy ha egy csoportnak van kompozíciólánca (olyan normállánca, ami tovább nem finomítható), akkor a csoport bármely két kompozíciólánca izomorf.

Története

A tétel egy kezdetleges változatát Marie Ennemond Camille Jordan bizonyította be 1869-ben. A bizonyítást Otto Ludwig Hölder 1889-ben egészítette ki. A Jordan–Hölder-tételnek gyakran alkalmazott általánosítása a Schreier-féle finomítási tétel, amit Otto Schreier 1928-ban publikált. Hat évvel később 1934-ben Hans Zassenhaus továbbfejlesztette Schreier bizonyítását a Zassenhaus-lemma felhasználásával.

Bizonyítás

Legyen ${\displaystyle G}$ egy kompozíciólánccal rendelkező csoport. A tételt a kompozíciólánc ${\displaystyle r}$ hosszára vonatkozó indukcióval igazoljuk.

Ha ${\displaystyle r=1}$, azaz ${\displaystyle G\triangleright e}$ (ahol ${\displaystyle e}$ a csoport egységeleme)kompozíciólánc, akkor ${\displaystyle G}$ egyszerű, így ez az egyetlen kompozíciólánca.

Tegyük fel, hogy a tételben foglalt állítás r-nél kisebb hosszúságú láncokra igaz, és legyen
${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e}$ és ${\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e}$
${\displaystyle G}$-nek két kompozíciólánca.

Ha ${\displaystyle G_{1}=H_{1}}$, akkor elhagyva ${\displaystyle G}$-t mindkét helyen, a ${\displaystyle G_{1}=H_{1}}$ csoportnak két kompozícióláncát kapjuk. Ezek egyikének hossza ${\displaystyle r-1}$, tehát a ${\displaystyle G_{1}}$-ből illetva ${\displaystyle H_{1}}$-ből kiinduló részláncok izomorfak. ${\displaystyle G_{0}/G_{1}=H_{0}/H_{1}}$ miatt a két kompozíciólánc ebben az esetben szükségképpen izomorfak.

Ha ${\displaystyle G_{1}\neq H_{1}}$, akkor mivel sem ${\displaystyle G}$ és ${\displaystyle G_{1}}$ sem ${\displaystyle G}$ és ${\displaystyle H_{1}}$ közé nem iktatható tőlük különböző normális részcsoport, ${\displaystyle G_{1}}$ és ${\displaystyle H_{1}}$ a ${\displaystyle G}$-nek maximális normális részcsoportjai. ${\displaystyle \left\{G_{1},H_{1}\right\}}$ újból normális részcsoport ${\displaystyle G}$-ben, így ${\displaystyle \left\{G_{1},H_{1}\right\}=G}$.

Tekintsük a ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$ és ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$ normálláncokat. Itt ${\displaystyle G_{1}\cap H_{1}}$ a ${\displaystyle G}$-nek normális részcsoportja, tehát ${\displaystyle G_{1}}$-ben és a ${\displaystyle H_{1}}$-ben is normális és ezek mindegyikétől különbözik ${\displaystyle G_{1}\neq H_{1}}$ miatt. Az I. izomorfizmus-tétel figyelembevételével
${\displaystyle G/G_{1}\cong H_{1}/(G_{1}\cap H_{1})}$ és ${\displaystyle G/(G_{1}\cap H_{1})\cong G/H_{1}}$,
vagyis ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$-nek első, illetve második faktora izomorf ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$-nek második illetve első faktorával. ${\displaystyle G_{1}}$ egy kompozícióláncának hossza ${\displaystyle r-1}$, tehát ${\displaystyle G_{1}\cap H_{1}}$-é ${\displaystyle r-2}$.

${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$-ben és ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$-ben a pontok helyére ${\displaystyle G_{1}\cap H_{1}}$-nek egy kompozícióláncát téve ${\displaystyle G}$-nek két izomorf kompozícióláncát kapjuk.

Mivel ${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e}$ és ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$ ${\displaystyle G_{1}}$-ben,${\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e}$ és ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$ ${\displaystyle H_{1}}$-ben közös a már bizonyíitottak szerint ${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e}$ és ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright G_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$ illetve
${\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e}$ és ${\displaystyle G=\left\{G_{1},H_{1}\right\}\triangleright H_{1}\triangleright G_{1}\cap H_{1}\triangleright \cdots \triangleright e}$ izomorf kompozícióláncok. A tranzitivitás következtében ${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright ...\triangleright G_{r-1}\triangleright G_{r}=e}$ és ${\displaystyle G=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright ...\triangleright H_{s-1}\triangleright H_{s}=e}$ is izomorf.

Alkalmazás

A magasbbfokú algebrai egyenletek elméletében fontos fogalom a feloldható csoport fogalma. ${\displaystyle G}$-t feloldható, ha van olyan normállánca, melyben minden faktorcsoport Abel-féle.

Kompozíciólánccal rendelkező csoport esetében ez azt jelenti, hogy van olyan kompozíciólánca (és a Jordan–Hölder-tétel szerint mindegyik olyan), amelynek faktorai kommutatívak.

Források

• Fuchs László, Algebra, Tankkönyvkiadó, 1963., 45. o.

További információk

• a tétel rövid története és alternatív bizonyítása
• MathWorld
• PlanetMath Archiválva 2010. június 20-i dátummal a Wayback Machine-ben