Erdős–Moser-sejtés

Ez a szócikk Erdős és Moser számelméleti sejtéséről szól. A konvex ponthalmazokon belül fellépő különböző távolságok számáról szóló Erdős–Moser-féle problémáról lásd: Erdős-féle eltérő távolságok problémája.

A matematika megoldatlan problémája: Létezik-e az Erdős–Moser-egyenletnek az ${\displaystyle 1^{1}+2^{1}=3^{1}}$-en kívül megoldása? (A matematika további megoldatlan problémái)

Az Erdős–Moser-sejtés a számelmélet területén a nagy Fermat-tételre emlékeztető diofantoszi egyenletre (Erdős–Moser-egyenlet) vonatkozik:

${\displaystyle 1^{n}+2^{n}+\cdots +m^{n}=(m+1)^{n}}$

ahol ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{>0}}$ és ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.

${\displaystyle n=0}$-ra az egyetlen megoldás ${\displaystyle m=1}$,
${\displaystyle n=1}$-re pedig az egyetlen megoldás ${\displaystyle m=2}$.

További megoldások nem ismertek.

Létezik próbálkozás arra, hogy egy Bernoulli-számokhoz kapcsolódó erősebb sejtést igazoljanak, amiből következne az Erdős–Moser-sejtés teljesülése is.^[1]

Erdős Pál sejtése szerint a fenti két megoldáson kívül nem létezik az egyenletnek más megoldása.

1953-van Leo Moser bebizonyította, hogy az ${\displaystyle n\geq 2}$ esetben ${\displaystyle m<10^{10^{6}}}$-ra nincs megoldás. Analitikai számelméleti módszerekkel dolgozott, részletes számításokat a számítástechnika akkori eszközeivel nem végezhetett. Butske et al. 1999-ben Moser eredményét kiterjesztették ${\displaystyle m<1{,}485\cdot 10^{9321155}}$-re,^[2] majd 2011-ben ${\displaystyle m<10^{10^{9}}}$-re.^[3]

Az ${\displaystyle n=1}$ esetre az egyenlet alakja:

${\displaystyle 1+2+\cdots +m=m+1}$

A Gauss-féle összegképlet alapján ${\displaystyle 1+2+\cdots +m={\frac {m(m+1)}{2}}}$. Így tehát:

${\displaystyle {\frac {m(m+1)}{2}}=m+1}$

Az egyenlet két megoldása ${\displaystyle m=-1}$ és ${\displaystyle m=2}$. Mivel kikötöttük, hogy ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{>0}}$, csak a második megoldás marad.

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Erdős-Moser-Gleichung című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.