Csoporthatás

A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatának igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topologikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.

G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy

${\displaystyle X\rightarrow X}$ bijekció.

G egységeleme X-en az identitás:

${\displaystyle 1x=x\;(\forall x\in X)}$

Teljesül az alábbi asszociativitás:

${\displaystyle \varphi (\psi x)=(\varphi \psi )x\;\;(\forall x\in X)(\forall \varphi ,\psi \in G)}$

Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján

${\displaystyle Gx=\{\varphi x|\varphi \in G\}}$

halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz

${\displaystyle y=g\,x}$, akkor

${\displaystyle x=g^{-1}\,y}$, tehát x is rajta van y pályáján.

Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent saját magába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et particionálják a G általi pályák.

Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont ${\displaystyle S_{x}}$ stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük ${\displaystyle S_{x}}$ bal oldali mellékosztályait. Legyen ${\displaystyle \pi '\in \pi S_{x}}$, ekkor

${\displaystyle \pi '=\pi \sigma \;(\sigma \in S_{x})}$

${\displaystyle \pi '\,x=\pi \sigma \,x=\pi \,x}$

Így ${\displaystyle S_{x}}$ bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy

${\displaystyle \pi \,x=\pi '\,x}$ .

Ekkor legyen:

${\displaystyle \sigma =\pi ^{-1}\pi '}$ . Így

${\displaystyle \sigma \,x=\pi ^{-1}\pi '\,x=\pi ^{-1}\,\pi x=x}$,

tehát ${\displaystyle \sigma }$ benne van x stabilizátorában, és

${\displaystyle \pi '=\pi \sigma }$, azaz

${\displaystyle \pi '\in \pi S_{x}}$.

Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy ${\displaystyle S_{x}}$ indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:

${\displaystyle |Gx|\cdot |S_{x}|=|G|}$.

Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.

A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:

${\displaystyle \sum _{x\in X}|S_{x}|=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|Gx|}}=\sum _{p\in P}\sum _{x\in p}{\frac {|G|}{|p|}}=|G|\sum _{p\in P}{\frac {|p|}{|p|}}=|G|\cdot |P|}$

Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{x\in X}|S_{x}|=|P|}$,

ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK