Annihilátor (gyűrűelmélet)

Az „Annihilátor” lehetséges további jelentéseiről lásd: Annihilátor (egyértelműsítő lap).

Az annihilátor vagy annullátor a matematikában, azon belül a moduluselméletben a torziót illetve ortogonalitást általánosító fogalom.

Legyen ${\displaystyle R}$ egy gyűrű, ${\displaystyle M}$ egy ${\displaystyle R}$-balmodulus, ${\displaystyle \emptyset \neq S\subseteq M}$ egy nemüres részhalmaz. Ekkor az ${\displaystyle S}$ halmaz annihilátora

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid \forall s\in S:\,rs=0\}}$.

Ez azon ${\displaystyle R}$-beli elemek halmaza, amik „annihilálják” ${\displaystyle S}$-et. A definíció balmodulus helyett jobbmodulusra is alkalmazható, ekkor ${\displaystyle rs=0}$ helyett értelemszerűen ${\displaystyle sr=0}$ írandó.

Egyetlen ${\displaystyle x\in M}$ elem annihilátorát rendszerint ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(\{x\})}$ helyett a rövidebb ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(x)}$ jelöli. Továbbá ha a kontextusból világos, hogy mely gyűrű feletti modulusról van szó, az ${\displaystyle R}$ index elhagyható.

Mivel ${\displaystyle R}$ modulus önmaga felett, ${\displaystyle S}$ vehető ${\displaystyle R}$ egy részhalmazának is. Azonban mivel ${\displaystyle R}$ egyszerre bal- és jobbmodulus is önmaga felett, a jelölésből egyértelműnek kell lennie, hogy éppen melyik oldali modulusról, és így melyik oldali annihilátorról van szó. Erre például az ${\displaystyle \ell .\operatorname {Ann} _{R}(S)}$ illetve ${\displaystyle r.\operatorname {Ann} _{R}(S)}$ jelölések használhatók (ahol ${\displaystyle \ell }$ a bal (left), ${\displaystyle r}$ a jobb (right) rövidítése).

Ha az ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$-modulusra ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)=0}$, akkor ${\displaystyle M}$-et hűséges modulusnak nevezzük.

Ha ${\displaystyle M}$ egy ${\displaystyle R}$-balmodulus és ${\displaystyle \emptyset \neq S\subseteq M}$, akkor ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)}$ balideál ${\displaystyle R}$-ben. A bizonyítás triviális: ha ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Ann} _{R}(S)}$, akkor minden ${\displaystyle s\in S}$-re ${\displaystyle (a+b)s=as+bs=0+0=0}$ és minden ${\displaystyle r\in R}$-re ${\displaystyle (ra)s=r(as)=r\cdot 0=0}$. (A jobbmodulusokra és jobbideálra vonatkozó analóg állítás is igaz.)

Ha ${\displaystyle S\leq M}$ részmodulus, akkor ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)}$ kétoldali ideál lesz, ugyanis minden ${\displaystyle t\in R}$-re ${\displaystyle (at)s=a(ts)=0}$, mert ${\displaystyle ts\in S}$.

Ha ${\displaystyle \emptyset \neq S\subseteq M}$ és ${\displaystyle N=\langle S\rangle \leq M}$ az ${\displaystyle S}$ által generált részmodulus, akkor ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(N)\subseteq \operatorname {Ann} _{R}(S)}$, és a tartalmazás lehet szigorú. Ha ${\displaystyle R}$ kommutatív, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy tartalmazás helyett egyenlőség áll.

${\displaystyle M}$ tekinthető ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} _{R}(M)}$-modulusnak is a ${\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,}$ szorzással (ahol ${\displaystyle {\overline {r}}}$ jelöli ${\displaystyle r}$ képét a faktorgyűrűben). Általánosságban ez nem minden ${\displaystyle I\subseteq R}$ ideál esetében ad jóldefiniált modulusstruktúrát ${\displaystyle M}$-en, de ha ${\displaystyle I\subseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)}$, akkor a szorzás jóldefiniált lesz. Ha ${\displaystyle R/\operatorname {Ann} _{R}(M)}$-modulusként tekintjük, akkor ${\displaystyle M}$ automatikusan hűséges modulus.

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Annihilator (ring theory) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.