Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

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Ne doit pas être confondu avec Théorème du point fixe de Kakutani.

• Montrons d'abord, pour ${\displaystyle f}$ fixé dans G, que l'ensemble (compact convexe) de ses points fixes dans ${\displaystyle K}$ est non vide. Notons C le compact convexe ${\displaystyle (\mathrm {id} -f)(K)}$. Soit ${\displaystyle x}$ un élément de ${\displaystyle K}$. Pout tout entier ${\displaystyle n>0}$, l'élément${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(\mathrm {id} -f)\left(f^{k}(x)\right)}$appartient à C, or la suite des ${\displaystyle x_{n}}$ converge vers 0, puisque ${\displaystyle K}$ est borné et que${\displaystyle x_{n}={\frac {x}{n}}-{\frac {f^{n}(x)}{n}}.}$Comme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans ${\displaystyle K}$ un point fixe par ${\displaystyle f}$.
• Du théorème quand G est un singleton (point précédent) on déduit facilement le théorème quand G est fini (par récurrence sur son cardinal).
• On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K.