Cet article est une ébauche concernant la géométrie .
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( t 12 ⋅ t 34 ) + ( t 14 ⋅ t 23 ) − ( t 13 ⋅ t 24 ) = 0 {\displaystyle (t_{12}\cdot t_{34})+(t_{14}\cdot t_{23})-(t_{13}\cdot t_{24})=0} Le théorème de Casey est un théorème de géométrie démontré en 1881 par le mathématicien irlandais John Casey (1820-1891). Il constitue une généralisation du théorème de Ptolémée .
Énoncé du théorème Soit O {\displaystyle O} un cercle de rayon R {\displaystyle R} . Soient O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} quatre cercles, ne s'intersectant pas, intérieurs à O {\displaystyle O} et tangents à O {\displaystyle O} , de rayons R i , i = 1 ⋯ 4 {\displaystyle R_{i},i=1\cdots 4} . Notons t i j {\displaystyle t_{ij}} la longueur du segment tangent extérieurement commun aux cercles O i , O j {\displaystyle O_{i},O_{j}} . Alors[ 1] :
t 12 ⋅ t 34 + t 14 ⋅ t 23 = t 13 ⋅ t 24 . {\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.} Dans le cas dégénéré , où les quatre cercles se réduisent à des points, on obtient le théorème de Ptolémée .
Démonstration Si T i {\displaystyle T_{i}} est le point de contact du cercle O i {\displaystyle O_{i}} avec O {\displaystyle O} , le quadrilatère T 1 T 2 T 3 T 4 {\displaystyle T_{1}T_{2}T_{3}T_{4}} étant inscriptible, on a la relation de Ptolémée : T 1 T 2 ⋅ T 3 T 4 + T 2 T 3 ⋅ T 4 T 1 = T 1 T 3 ⋅ T 2 T 4 {\displaystyle T_{1}T_{2}\cdot T_{3}T_{4}+T_{2}T_{3}\cdot T_{4}T_{1}=T_{1}T_{3}\cdot T_{2}T_{4}} .
La relation de Casey s'obtient à partir de l'expression t i j = T i T j R ( R − R i ) ( R − R j ) {\displaystyle t_{ij}={\frac {T_{i}T_{j}}{R}}{\sqrt {(R-R_{i})(R-R_{j})}}} [ 2] .
Références ↑ Mathematical Excalibur, Volume 16, Number 5, March - April 2012 ↑ Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie , Ellipses, 2018 , p. 386-387 Portail de la géométrie