En mathématiques, en particulier en algèbre, les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.
Par exemple qui apparaît dans l'étude du pentagone régulier[N 1], ou d'autres plus complexes telles que .
Désimbrication de radicaux
Problème général
On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :
.
Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.
Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués[1].
Un cas simple
Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :
;
;
.
Si a et b sont des rationnels positifs tels que √b soit irrationnel et inférieur à a, pour pouvoir mettre
Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes[2] :
,
,
,
[3].
Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :
[3],
.
Algorithme de Landau
En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés[4]. Des algorithmes antérieurs ont fonctionné dans certains cas, mais pas dans d'autres.[évasif] L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué [5].
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?
Les sinus, cosinus et tangente d'un multiple rationnel θ de π s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si θ/π s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2.
Par exemple :
;
.
Imbrication infinie de radicaux
Racine carrée
Pour tous réel r, s > 0, on démontre[6],[N 2] que la suite récurrente(un) définie par
↑(en) Susan Landau, « How to Tangle with a Nested Radical », The Mathematical Intelligencer, vol. 16, , p. 49-55 (DOI10.1007/bf03024284, lire en ligne).
↑(en) Susan Landau, « A note on 'Zippel Denesting' », .
↑ a et b(en) Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan et Liang-Cheng Zhang, « Radicals and units in Ramanujan's work ».
↑(en) Susan Landau, « Simplification of Nested Radicals », SIAM J. Comput., vol. 21, , p. 85-110 (DOI10.1109/SFCS.1989.63496), citeseerx 10.1.1.34.2003.
↑(en) Eleftherios Gkioulekas, « On the denesting of nested square roots », International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 48 (6), , p. 942–953 (lire en ligne)
↑ a et b(en) Seth Zimmerman et Chungwu Ho, « On infinitely nested radicals », Mathematics Magazine, vol. 81, no 1, , p. 3-15 (JSTOR27643075).
↑(en) S. Ramanujan (G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar et B. M. Wilson, éd.), Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, RI, AMS, (1re éd. 1927) (lire en ligne), p. 323.
↑(en) B. C. Berndt, Y. S. Choi, S. Y. Kang, « The problems submitted by Ramanujan to the Journal of Indian Math. Soc. », Continued fractions, Contemporary Math, no 236, , p. 5 (lire en ligne)
↑Et pour tout x > 0, ce que MathWorld, « Nested Radical » (voir infra) ne précise pas.
(en) Allan Borodin, Ronald Fagin, John E. Hopcrofts et Martin Tompa, « Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots », J. Symbolic Computation, vol. 1, , p. 169-188 (DOI10.1016/S0747-7171(85)80013-4)
(en) David J. Jeffrey et Albert D. Rich, « Simplifying Square Roots of Square Roots by Denesting », dans Michael Wester, Computer Algebra Systems: A Practical Guide, Wiley, (lire en ligne)