Module d'inertie

Le module de section est un élément indispensable pour le calcul de la résistance à la rupture de différents matériaux. Il dépend de la forme, de la section de ces matériaux et est complémentaire au moment quadratique.

  • Le moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point.

Matériaux de forme cylindrique

  • Cylindre plein (fig. 9) :

Moment quadratique sur axe xx' (flexion) : I x x ′ = π ⋅ D 4 64 {\displaystyle Ixx'={\frac {\pi \cdot D^{4}}{64}}} et le Module de flexion : I x x ′ v = π ⋅ D 3 32 {\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {\pi \cdot D^{3}}{32}}}

Moment quadratique au centre O (torsion) : I o = π ⋅ D 4 32 {\displaystyle Io={\frac {\pi \cdot D^{4}}{32}}} et le Module de torsion : I o v = π ⋅ D 3 16 {\displaystyle {Io \over v}={\frac {\pi \cdot D^{3}}{16}}}

  • Cylindre creux (fig. 10) :

Moment quadratique sur axe xx' (flexion) : I x x ′ = π ⋅ ( D 4 − d 4 ) 64 {\displaystyle Ixx'={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{64}}} et le Module de flexion : I x x ′ v = π ⋅ ( D 4 − d 4 ) 32 ⋅ D {\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32\cdot D}}}

Moment quadratique au centre O (torsion) : I o = π ⋅ ( D 4 − d 4 ) 32 {\displaystyle Io={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32}}} et le Module de torsion : I o v = π ⋅ ( D 4 − d 4 ) 16 ⋅ D {\displaystyle {Io \over v}={\frac {\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{16\cdot D}}}

  • Tube faible épaisseur (fig. 11) :

Moment quadratique (flexion) I g z = π ⋅ R 3 ⋅ e {\displaystyle Igz={\pi \cdot {R^{3}}\cdot e}}

Moment quadratique au centre O (torsion) I o =   2 ⋅ π ⋅ R 3 ⋅ e {\displaystyle Io={\ 2\cdot \pi \cdot {R^{3}}\cdot e}}

  • Arbre avec rainure de clavette (fig.12) :

Moment quadratique I o ≈ 0 , 1 ⋅ d 4 − a ⋅ b ⋅ d 2 4 {\displaystyle Io\approx 0,1\cdot {d^{4}}-{\frac {a\cdot b\cdot {d^{2}}}{4}}}

Matériaux sphériques

  • Sphère (fig. 16) de masse m {\displaystyle m}  :

Moment d’inertie par rapport à l’axe I x x ′ {\displaystyle Ixx'}

I x x ′ = 1 2 ⋅ m ⋅ R 2 {\displaystyle Ixx'={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {R^{2}}}
  • Sphère (fig.17) par rapport à un axe extérieur I y y ′ {\displaystyle Iyy'}
I y y ′ = 1 2 ⋅ m ⋅ R 2 + ( m ⋅ L 2 ) {\displaystyle Iyy'={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot {R^{2}}+(m\cdot {L^{2}})}

Matériaux parallélépipédiques

  • Parallélépipède (fig.1) par rapport sa base x x ′ {\displaystyle xx'}
Moment quadratique : I x x ′ = b ⋅ h 3 3 {\displaystyle Ixx'={\frac {b\cdot {h^{3}}}{3}}} et module d’inertie : I x x ′ v = 2 3 ⋅ b ⋅ h 2 {\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {2}{3}}\cdot b\cdot {h^{2}}}


  • Parallélépipède (fig. 2) par rapport à l’axe x x ′ {\displaystyle xx'} passant par son centre :
Moment quadratique : I x x ′ = b ⋅ h 3 12 {\displaystyle Ixx'={\frac {b\cdot {h^{3}}}{12}}} et module d’inertie : I x x ′ v = b ⋅ h 2 6 {\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {b\cdot {h^{2}}}{6}}}


  • Parallélépipède (fig. 3) en son centre G {\displaystyle G}  :
Moment quadratique (torsion) : I G = b ⋅ h 12 ⋅ ( b 2 + h 2 ) {\displaystyle I_{G}={\frac {b\cdot h}{12}}\cdot (b^{2}+h^{2})}


  • Parallélépipède percé (fig. 4) par rapport à l’axe x x ′ {\displaystyle xx'}  :
Module d’inertie : > I x x ′ v = b 6 h ⋅ ( h 3 − d 3 ) {\displaystyle >{Ixx' \over v}={\frac {b}{6h}}\cdot (h^{3}-d^{3})}

Divers matériaux profilés

  • Profilé en T (fig. 14)  :
Moment quadratique : I = ( b ′ ⋅ h 3 ) + ( b ⋅ h ′ 3 ) 12 {\displaystyle I={\frac {(b'\cdot h^{3})+(b\cdot h'^{3})}{12}}} et module d’inertie : I v = ( b ⋅ h 3 ) + ( b ′ ⋅ h ′ 3 ) 6 h {\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})+(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}


  • Profilé en I (fig. 15)  :
Moment quadratique : I = ( b ⋅ h 3 ) − ( 2 ∗ b ′ ⋅ h ′ 3 ) ) 12 {\displaystyle I={\frac {(b\cdot h^{3})-(2*b'\cdot h'^{3}))}{12}}} et module d’inertie : I v = ( b ⋅ h 3 ) − ( 2 ∗ b ′ ⋅ h ′ 3 ) 6 h {\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(2*b'\cdot h'^{3})}{6h}}}


  • Profilé tube carré (fig. 5)  :
Moment quadratique : I = ( b ⋅ h 3 ) − ( b ′ ⋅ h ′ 3 ) 12 {\displaystyle I={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{12}}} et module d’inertie : I v = ( b ⋅ h 3 ) − ( b ′ ⋅ h ′ 3 ) 6 h {\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}


  • Profilé en U (fig. 6)  :
Moment quadratique : I = ( b ⋅ h 3 ) − ( b ′ ⋅ h ′ 3 ) 12 {\displaystyle I={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{12}}} et module d’inertie : I v = ( b ⋅ h 3 ) − ( b ′ ⋅ h ′ 3 ) 6 h {\displaystyle {I \over v}={\frac {(b\cdot h^{3})-(b'\cdot h'^{3})}{6h}}}


  • Profilé carré plein (fig. 7)  :
Moment quadratique à l’axe x x ′ {\displaystyle xx'}  : I x x ′ = a 4 12 {\displaystyle Ixx'={\frac {a^{4}}{12}}} et module d’inertie : I x x ′ v = a 3 6 {\displaystyle {Ixx' \over v}={\frac {a^{3}}{6}}}
Moment quadratique au centre O {\displaystyle O} (torsion) : I o = a 4 6 {\displaystyle Io={\frac {a^{4}}{6}}}


  • Profilé triangulaire (fig. 8)  :
Moment quadratique à l’axe x x ′ {\displaystyle xx'}  : I x x ′ = b ⋅ h 3 36 {\displaystyle Ixx'={\frac {b\cdot h^{3}}{36}}}

Voir aussi

Articles connexes

  • Résistance à la rupture
  • Moment quadratique
  • Moment d'inertie
  • Moment de force (mécanique)
  • Moment de flexion
  • Module de cisaillement
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